Ciało liczb zespolonych. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej, postać trygonometryczna liczby zespolonej, działania na liczbach zespolonych, pierwiastki z jedności. Podstawowe twierdzenie algebry.
Paweł Krakowiak
Łukasz Blaźniak
1. Ciało liczb zespolonych.
Definicja 1.
Element i=0,1∈C nazywamy jednostką urojoną.
i2=0,10,1=0∙0-1∙1,0∙1+1∙0=-1,0=-1
Każdą liczbę zespoloną z=x,y można zapisać w postać kanonicznej z=x+yi.
Liczby rzeczywiste x oraz y nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną.
Oznaczamy x=Re z, y=Im z.
Definicja 2.
Dla liczby zespolonej z=x+yi liczbę rzeczywistą z=x2+y2 nazywamy modułem, a liczbę zespoloną z=x-yi=x+-yi nazywamy sprzężeniem liczby z.
Definicja 3.
Zbiór C=R x R wraz z działaniami określonymi wzorami:
· x,y+x',y'=x+x',y+y'
· x,yx',y'=x+yix'+y'i=xx'+xy'i+yx'i+yy'i2=xx'-yy'+xy'+yx'i=xx'-yy',xy'+yx' dla x,y, x',y'∈ C
Stanowi ciało nazywane ciałem liczb zespolonych, a jego elementy liczbami zespolonymi.
Zauważmy, że dla x,0, y,0 ∈ C,
x,0+y,0=x+y,0; x,0y,0=xy,0
Można więc liczbę zespoloną x,0 utożsamić z liczbą rzeczywistą x i w tym sensie można pisać R= C.
Liczbę zespoloną (x,y) utożsamiamy z x,y ~ x+yi.
Twierdzenie 1.
Zbiór ( C ,+, ∙) stanowi ciało, którego zerem jest element (0,0), a jedynką jest element (1,0)
2. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
· punkt w układzie współrzędnych to liczba zespolona postaci z=x+yi=(x,y), gdzie na osi OX znajduje się jej część rzeczywista, a na osi OY jej część urojona .
· dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych z1, z2 odpowiada dodawaniu i odejmowaniu wektorów Oz1 i Oz2.
· Sprzężenie liczby zespolonej z polega na symetrycznym odbiciu liczby zespolonej z względem osi OX.
· Moduł liczby zespolonej z jest długością punktu z=(x,y) od początku układu współrzędnych.
Przykład 1. Poniżej kilka liczb zespolonych zaznaczonych na płaszczyźnie zespolonej.
Przykłady:
{z∈C:z=1} {z∈C:z≤1}
3. Własności liczb zespolonych
Twierdzenie 2. Dla z, z1, z2∈C zachodzą wzory:
1. zz=z2
dowód: niech z=x+yi
zz=x+yix-yi=x2-xyi-y2i2=x2+y2=(x2+y2)2=z2
2. z1±z2=z1±z2
z1±z2=x1±x2-y1±y2i=x1-y1i±x2-y2i=z1±z2
3. z1z2=z1z2
z1z2=x1x2-y1y2-x1y2-y1x2i=x1-y1ix2-y2i=z1z2
4. z1z2=z1z2
5. z1z2=z1z2
6. z1z2=z1z2 o ile z2≠0
7. z1+z2≤z1+z2
8. Re z=z+z2
9. Im z=z-z2i
10. Argz1z2=Argz1+Argz2
...
tomeks07