Cw24_25IV.doc

  PROJEKTOWANIE BADAŃ i METODY ANALIZY STATYSTYCZNEJ I

Wybrane zagadnienia weryfikacji hipotez statystycznych

Zad. 1

Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości , .

Badamy hipotezę wobec hipotezy alternatywnej . Obszar odrzucenia hipotezy jest wyznaczony nierównością , i jest ustalone. Obliczyć prawdopodobieństwo błędu I i II rodzaju oraz wyznaczyć moc tego testu.

Zad. 2

Z populacji, w której cecha X ma rozkład normalny wylosowano n-elementową próbę prostą. Wysunięto hipotezę wobec hipotezy alternatywnej .
Do zweryfikowania tej hipotezy proponuje się test o obszarze krytycznym postaci . Wyznaczyć t, tak aby otrzymać test o prawdopodobieństwie błędu I rodzaju 0,05. Jak liczna powinna być próba losowa, aby prawdopodobieństwo błędu II rodzaju nie było większe niż 0,05.

Zad. 3

Niech będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego . Testujemy hipotezę wobec hipotezy alternatywnej , przy czym obszar krytyczny testu jest postaci . Wyznaczyć stałą tak, aby poziom istotności . Wyznaczyć funkcję mocy tego testu w zależności od m. Czy test ten jest nieobciążony? Czy test ten jest zgodny? 

Zad. 4

Niech będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego. Przypuśćmy, że weryfikujemy hipotezę za pomocą testu z obszarem odrzucenia .

Jaka jest moc tego testu przy i ?

Zad. 5

Niech X będzie zmienną losową z rozkładu Erlanga o gęstości

.

a)      Testujemy hipotezę wobec hipotezy alternatywnej . Dysponując pojedynczą obserwacją, znaleźć test najmocniejszy przy .

b)     Wyznaczyć moc tego testu.

Zad. 6

Podać końcową postać statystyki używanej do testu ilorazu wiarygodności służącego do testowania hipotezy wobec hipotezy alternatywnej , jeżeli n-elementowa próba prosta pochodzi z rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości .

Zad. 7

Zmienna losowa X ma rozkład Pascala o funkcji prawdopodobieństwa
dla , . Z rozkładu tego została wylosowana dwustuelementowa próba prosta, w której zaobserwowano . Przyjmując poziom istotności należy zweryfikować hipotezę wobec hipotezy alternatywnej .

Zad. 8

Niech będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu Poissona o funkcji prawdopodobieństwa , . Rozważmy zagadnienie weryfikacji hipotezy przeciwko . Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności na poziomie istotności , jeśli n jest duże.

Zad. 9

Niech będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu geometrycznego o funkcji prawdopodobieństwa , . Rozważmy zagadnienie weryfikacji hipotezy wobec hipotezy . Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu wiarogodności na poziomie istotności , jeśli n jest duże.

1