http://multifraktale.stach.org.pl/
Wprowadzenie
Wpisany przez Stępień Łukasz
poniedziałek, 07 kwietnia 2008 13:18
Niniejsza praca stanowi próbę przybliżenia złożoności, z którą każda osoba spotkała się świadomie bądź też nie na co dzień. Niestety w większości przypadków nie zdajemy sobie sprawy w jak wspaniałym towarzystwie skomplikowanych obiektów przebywamy. Praca porusza zagadnienia dotyczące chaosu, dzięki, któremu to co wydaje się skomplikowane, może mieć bardzo proste wytłumaczenie, a to co dotychczas wydawało się bardzo proste, jest wyjątkowo złożone. Zbiór zawartych informacji prezentuje również zagadnienia dotyczące fraktali oraz multifraktali – nowego języka matematyki pozwalającego opisać rzeczywisty świat w zrozumiały sposób. Poruszone kwestie pozwalają przejść od zagadnień czysto filozoficznych do królowej świata nauki – matematyki.
Multifraktale pozwalają opisać parametry surowców wykorzystywanych w inżynierii materiałowej. Dzięki temu ułatwiają zbadać oraz zoptymalizować proces technologiczny pozwalający otrzymać wyroby o zdecydowanie lepszych właściwościach, niż początkowo można było sądzić.Celem pracy jest wykonanie strony internetowej, która przybliża aspekty chaosu, fraktali i multifraktali w taki sposób, by zaintrygowała treścią i formą, każdego bez względu na wiek, poziom wykształcenia oraz zainteresowania.
Strona przeprowadza przez filozoficzne podejście do zjawisk dnia codziennego, ukazuje odpowiednie formy wyjaśniające złożoność środowiska naturalnego – fraktale oraz przedstawia praktyczne wykorzystanie świeżego spojrzenia na matematykę w pracach związanych z inżynierią materiałową.
Inicjatywą pracy jest, by osoba, która zagłębi się w witrynę internetową, choć w minimalny stopniu zmieniła swoje podejście do zjawisk dotychczasowo postrzeganych za nader skomplikowane lub zbyt proste.
Kolejnym celem utylitarnym pracy jest wyzwolenie pewnego rodzaju inwersji postrzegania otoczenia. Horyzonty myślowe nie mogą stanowić samocenzury, stąd wiele aspektów pracy dotyczy złożoności, a może jednocześnie prostoty świata.
Poprawiony: środa, 16 kwietnia 2008 15:11
Nowe spojrzenie na matematykę
sobota, 16 lutego 2008 17:41
Nieregularna strona przyrody była bardzo intrygująca jako zagdaka, ale była też potwornością trudną do zrozumienia. Bicie serca przed samą śmiercią, zjawiska finansowe na giełdzie papierów wartościowych, te badania prowadziły w prostej linii do świata przyrody – gwiazd w galaktykach, toru błyskawicy oraz do kształtu chmur. Zachowanie się przyrody przypisywano bóstwom lub też potężnym niewytłumaczalnym siłom.
Dziś wiem, iż przyroda w swej nieregularności jest skarbnicą fizycznych aspektów chaosu.
Chaos zmienił podejście do wszystkiego, otworzył oczy na coś co było obserwowane ale dopiero dzięki jego zrozumieniu zostało odkryte na nowo. Teorie mogą się zmieniać, paradygmaty również przemijają i zastępują je nowe, jednak jest jedna stała rzecz : autorytet matematyki. Znaczenie matematyki jest ogromne wskutek tego, iż „prawa przyrody są matematyczne”.
Nie ma możliwości dokładnego przewidywania przyszłości , wobec tego stwierdzenia, iż światem rządzi determinizm nie maja prawa bytu. Nowa dziedzina matematyki rozwinęła by się zdecydowanie szybciej ale „słabe idee mogą być asymilowane, idee, które wymagają od ludzi reorganizacji ich obrazu świata, spotykają się z wrogością”.
Postrzegano świat jako wysoce liniowy, przewidywalny, natomiast to co piękne i zarazem naturalne oraz prawdziwe ma charakter dynamiczny. Opisywane jest przez układy równań różniczkowych, w większości przypadków nierozwiązywalne.
Z powodu nowego światopoglądu oraz narzędzi matematycznych, o których w dalszej części pracy należy uświadomić sobie, że „chaos przepowiada dzisiaj przyszłość, której nikt nie zaprzeczy. Ale aby zaakceptować przyszłość, należy zaniechać ciągłego spoglądania w przeszłość”.
Poprawiony: środa, 16 kwietnia 2008 14:12
Postrzeganie świata przez pryzmat geometrii
sobota, 16 lutego 2008 18:02
W słowach Platona „poznanie geometryczne dotyczy tego, co wieczne” upatruje klucz do zagadki, która zainspirowała Benoita Mandelbrota do odkrycia tego czego potrzebował cały świat nauki. Dziwnie pokręconych, zakrzywionych kształtów, dzięki którym, to co wydawało się niemożliwe do opisania językiem matematyki stało się trywialnie proste. Nowa geometria odzwierciedla wszechświat, który jest raczej kanciasty niż zaokrąglony.
Mandelbrot powiedział, że „ani chmury nie są kulami, góry – stożkami, linia brzegowa- kołem, kora nie jest płaska, ani też światło nie porusza się po liniach prostych” wobec tego rozwinął nowy dział matematyki pomocny w opisie świata – język opisu nieregularności – nowe formy geometryczne zwane fraktalami.
Podoba się tylko piękno, w pięknie zaś – kształty, w kształtach – proporcje, w proporcjach – liczby . Odnosi się to do poglądów pitagorejczyków dla których synonimem piękna były odpowiednie proporcje. W matematyce najczęściej realizowaną proporcją jest boks proporcja wynikająca ze złotego podziału odcinka.
Wyznacznikiem piękna jest liczba:
Symetria, czy się ją określi w sposób mniej lub bardziej szeroki, jest ideą, za pomocą której człowiek starał się przez wszystkie czasy ogarniać myślą i tworzyć porządek, piękno, doskonałość. Wg Giuseppe Caglioti symetria rozumiana jako „przekształcenie dowolnego obiektu K, które odwzorowuje elementy obiektu K w elementy tegoż obiektu, ale obiekt K jako pewna całość nie ulega zmianie” to zgodność zmienności (poszczególnych elementów obiektu K) z niezmiennością (odnoszącą się do całości). Symetria odnosi się do układu równań różniczkowych. Wniosek nasuwa się sam: oprócz figur geometrycznych również procesy dynamicznie też mają swoje symetrie.
Poprawiony: środa, 16 kwietnia 2008 14:09
Hierarchiczna struktura geometrii
poniedziałek, 07 kwietnia 2008 14:07
Wszystkie możliwe akty poznania przyrody oraz panujących w niej procesów zawdzięczamy rozwojowi geometrii. Niestety im bardziej zdumiewał i zaciekawiał ludzi otaczający ich świat tym bardziej zdawali sobie sprawę z ułomności klasycznej geometrii Euklidesa. Inne geometrie eliptyczna oraz hiperboliczna nie pozwalały na prawdziwy opis przyrody, jedynie na uproszczone i wyidealizowane odwzorowania świata rzeczywistego.Dopiero nowa geometria – topologia pozwoliła na prawdziwe i całościowe zrozumienie świata.
Rys. 1. Hierarchiczna struktura geometrii (Harley 1969r)
Poprawiony: środa, 16 kwietnia 2008 13:50
Kilka słów o topologii
poniedziałek, 07 kwietnia 2008 14:16
Topologia zajmuje się problemami dotyczącymi formy i kształtu. Krok milowy do rozwoju tej dziedziny matematyki uczynił Henri Poincare, badając ciągłość – analizował to co nieprzerwane. Dzięki Poincaremu posiadamy wiedzę o właściwościach równań dynamicznych dotyczących wielu ciał. Zamiast badać każdy stan początkowy by stwierdzić czy dany układ zachowuje się okresowo badamy kilka stanów, wyobrażając sobie, że znajdują się na powierzchni zwanej przekrojem Poincarego. Jako pierwszy myślał topologicznie i dzięki temu zaobserwował to czego nigdy nie uzyskałby z równania. Stworzył i rozwinął topologię algebraiczną.
Rys. 2. Przekroje H. Poincare’go ukazujące ruch gwiazd po orbitach gdzie tworzą się zagęszczenia, czyli atraktory
Drugim inicjatorem nowoczesnego spojrzenia matematycznego był Georg Cantor. Odegrał kluczową rolę w wykreowaniu w późniejszym czasie przez Mandelbrota pionierskiej geometrii. Zbiór Cantora jest brany za próbę pełnego zrozumienia podstawowych pojęć związanych z topologią, a mianowicie ciągłość oraz krzywizny. Początkowo zbiór ten o kształtach traktowanych jako odchylenie od normalnych struktur w przyszłość wykazał cechy typowe dla fraktali matematycznych, których odbicie można odnaleźć w naturze. Zbiór Cantora (o wymiarze samopodobieństwa ) pozwala zrozumieć chaos w układach dynamicznych oraz jest punktem wyjścia do innych fraktali matematycznych. W dalszej swej pracy naukowej Cantor skupił się na rozwijaniu topologii ogólnej.
Rys. 3. Etapy powstawania zbioru Cantora
Polacy również mają swój wkład w rozwój topologii. Wacław Sierpiński to twórca dwóch klasycznych fraktali, dywanu (wymiar samopodobieństwa ) oraz trójkąta (wymiar samopodobieństwa ) nazwanych jego nazwiskiem. Figury są samopodobne, tworzone dzięki nieskończonej liczbie kroków konstrukcji. Trójkąt Sierpińskiego można uzyskać w prosty sposób grając w tzw. grę w chaos. Zajmował się również teorią mnogości.
Rys. 4. Trójkąt oraz dywan Sierpińskiego
Inną ważną osobistością był Kazimierz Kuratowski, który wprowadzał aksjomatykę domknięć (znaną w świecie jako aksjomatyka Kuratowskiego), która posłużyła za podstawę do rozwoju teorii przestrzeni topologicznych oraz rozwijanej przez niego teorii continuów nieprzywiedlnych między dwoma punktami. Do najcenniejszych wyników Kuratowskiego uzyskanych po wojnie należą te, które dotyczyły związków między topologią a teorią funkcji analitycznych, a także głębokie twierdzenia z zakresu teorii rozcinania przestrzeni euklidesowych.
Podstawowymi pojęciami topologii są wymiar oraz homeomorfizm. Dowolne przekształcenie jest homeomorfizmem i działając na obiekt nie zmienia niezmienniczych własności obiektu. Gdy rozwijała się topologia, poszukiwano jakościowych cech niezmiennych podczas przekształceń obiektów. Wymiar w przypadku przekształceń powinien być zachowany, to był powód poszukiwania odpowiedniej definicji wymiaru. Początkowo kierowano się intuicją, tworzono wiele pojęć wymiaru opartych bądź też nie na topologicznych niezmiennikach . Linie proste mogą zgodnie z prawami topologicznymi zamieniać się w krzywe, okręgi poddane ściskaniu zamienią się w rozciągnięte kwadraty lub trójkąty. Patrząc topologicznie na płaską kartę papieru jest ona równoważna kartce nieskończenie pomiętej.
Poprawiony: środa, 16 kwietnia 2008 13:56
Definicje chaosu deterministycznego
wtorek, 08 kwietnia 2008 07:25
Teoria chaosu wyrosła na pograniczu wielu dziedzin nauki ze względu na równoległe badania nad zjawiskami, które od zawsze były intrygujące. Ścierające się koncepcje fizyków, matematyków, biologów, chemików, meteorologów używających specyficznego języka dla swojego obszaru badań doprowadziły do powstania różnorakich teorii. Wszystkie rozważania miały jednakową podstawę jaką były systemy dynamiczne.
Chaotyczne systemy dynamiczne charakteryzują się:
1. Występują zarówno trajektorie okresowe jak i nieokresowe,
2. Wrażliwość na warunki początkowe powoduje nieprzewidywalność zachowania układu,
3. Warunkami by zaistniał chaos wcale nie są skomplikowana postać analityczna czy też przestrzeń wielowymiarowa.
Przestawione zostaną dwie teorie wykorzystujące wcześniej przedstawione zagadnienie topologii.
Definicja chaosu wg Devaney'a:
Niech f będzie odwzorowaniem dowolnej przestrzeni metrycznej X w siebie. System dynamiczny (X,f) nazywany chaotycznym w zbiorze X, jeżeli:
1. Odwzorowanie f jest w zbiorze X wrażliwe na zmianę warunków początkowych,
2. Odwzorowanie f jest topologiczne tranzytywne,
3. Zbiór Per(f) jest gęsty (w przestrzeni topologicznej zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią) w X.
Definicja jest przedstawiona wydawać by się mogło w prosty sposób jednak sprawdzenie wszystkich trzech warunków bywa czasem bardzo kłopotliwe.
Druga definicja to definicja podana przez Garrido:
Niech X będzie zwartym podzbiorem przestrzeni Rm, a f odwzorowaniem X w siebie.
System dynamiczny (X,f) nazywamy chaotycznym, gdy ma dziwny atraktor, charakteryzujący się:
1. Wrażliwością na zmiany warunków początkowych (trajektorie punktów początkowo bliskich sobie oddalają się i zbliżają do siebie w sposób losowy, jednak nigdy nie opuszczając atraktora),
2. Skomplikowaną strukturą geometryczną (oznaczaną przez wymiar fraktalny).
Poprawiony: środa, 16 kwietnia 2008 13:54
Recepta na chaos
wtorek, 08 kwietnia 2008 08:26
„Najlepsza matematyka jest zawsze prosta, gdy tylko umiemy na nią spojrzeć w odpowiedni sposób”. Osobą, która umiejętnie spojrzała na zagadnienia dynamiki był Stephen Smale.
Według Smala receptą na chaos jest rozciąganie oraz ściskanie, a chaos jest podobnie jak zjawiska periodyczne, zachowaniem naturalnym. Wychodząc od kwadratu przechodząc przez podkowę i powtarzając (iterując) proces otrzymamy nieskończenie zakrzywioną krzywą. Wprowadził strukturę podkowy na podstawie której, wyjaśniał układy dynamiczne w aspekcie ściskania, rozciągania i zginania.
Z uwagi na otrzymany kształt możliwy ruch punktu na uzyskanej skończonej krzywej jest przypadkowy. Ten pomysł otworzył kopalnię pomysłów dotyczących teorii układów dynamicznych. Chaos reprezentuje jedynie wierzchołek majestatycznej góry lodowej, albowiem pod powierzchnią kryją się dużo wspanialsze struktury o niewiarygodnej złożoności oraz surrealistyczny krajobraz czarującego piękna.
Rys. ...
xyzgeo