Stewart I. - Wielkie problemy matematyczne.PDF

(5308 KB) Pobierz
Musimy wiedzieć. Będziemy wiedzieć.
David Hilbert
w wystąpieniu poświęconym zagadnieniom matematycznym, które wygłosił w 1930 roku na
uroczystości nadania mu honorowego obywatelstwa Królewca
1
1
Te słynne słowa, w oryginale: „Wir müssen wissen. Wir werden wissen”, są częścią przemówienia, które Hilbert zarejestrował dla
jednej z rozgłośni radiowych. Zob. Constance Reid,
Hilbert,
Springer, Berlin 1970, s. 196.
Przedmowa
Matematyka jest obszerną dziedziną, która bezustannie powiększa się i zmienia. Wśród niezliczonych
pytań, jakie stawiają sobie matematycy, są również takie, które szczególnie się wyróżniają – są
niczym szczyty górujące nad otaczającymi je pagórkami. Są to pytania tak wielkie, tak trudne
i wymagające, że każdy matematyk bez wahania dałby sobie uciąć prawą rękę, gdyby mógł dzięki
temu znaleźć na nie odpowiedź. Niektóre pozostawały tajemnicą przez dziesięciolecia, inne przez
stulecia, a nieliczne – przez całe tysiąclecia. Niektórych wciąż nie udało się rozwikłać. Wielkie
twierdzenie Fermata pozostawało zagadką przez 350 lat i dopiero Andrew Wiles zdołał się z nim
uporać po siedmiu latach żmudnej pracy. Hipotezy Poincarégo nikt nie potrafił udowodnić przez
ponad sto lat – dokonał tego ekscentryczny geniusz Grigorij Perelman, który odmówił jednak
przyjęcia naukowych wyróżnień i nagrody w wysokości miliona dolarów. Hipoteza Riemanna wciąż
nie przestaje intrygować matematyków i po 150 latach pozostaje tak samo zagadkowa jak w chwili,
gdy ją sformułowano.
Książka
Wielkie problemy matematyczne
zawiera wybór naprawdę wielkich pytań, które sprawiły,
że matematyka zaczęła się rozwijać w zupełnie nowych kierunkach. Dowiemy się z niej, w jaki
sposób matematycy doszli do tych zagadnień i dlaczego są one tak ważne, poznamy też ich
matematyczny i naukowy kontekst. Książka zawiera problemy już rozwiązane i te, z którymi wciąż nie
udało się nam uporać. Takie zagadnienia formułowano w różnych okresach w ciągu dwóch tysięcy lat
historii rozwoju matematyki, jednak w tej książce skupimy się na problemach, które wciąż pozostają
bez odpowiedzi lub zostały rozwiązane w minionym półwieczu.
Podstawowym celem matematyki jest odkrywanie prostoty leżącej u podstaw pozornie
skomplikowanych problemów. Jednak nie zawsze jest to od razu widoczne, ponieważ
w matematycznym ujęciu pojęcie „prostoty” bazuje na wielu specjalistycznych i skomplikowanych
zagadnieniach. Dużą zaletą tej książki jest to, że podkreśla ową głęboką prostotę, unikając wszelkich
złożoności – a przynajmniej wyjaśnia je za pomocą zrozumiałych pojęć.
Matematyka jest bardziej nowatorska i różnorodna, niż się zwykle sądzi. Z grubsza rzecz biorąc,
można przyjąć, że obecnie na całym świecie badania prowadzi około stu tysięcy matematyków,
którzy każdego roku publikują ponad
dwa miliony
stron artykułów naukowych poświęconych tej
dziedzinie. Nie chodzi tu o jakieś „nowe liczby”, bo matematyka wcale nie tym się zajmuje. Nie są to
też „nowe obliczenia”, przypominające jakieś wykonane już wcześniej, tylko nieco większe – choć
należy przyznać, że w naszej pracy często musimy przeprowadzać całkiem pokaźne rachunki.
Niedawno zespół około 25 matematyków przeprowadził badania z dziedziny algebry, które
wymagały wykonania „obliczeń dorównujących rozmiarem Manhattanowi”. Nie jest to do końca
prawdą, ale błąd polega w tym wypadku raczej na zbyt ostrożnym opisie złożoności problemu.
W istocie należałoby powiedzieć, że to
odpowiedź
miała rozmiar Manhattanu – same obliczenia były
znacznie większe. To robi wrażenie, ale tak naprawdę liczy się jakość, a nie ilość. Wspomniane
obliczenia o rozmiarze Manhattanu są jednak również ważne ze względu na swoją zawartość,
ponieważ dostarczają cennych podstawowych informacji na temat grup symetrii, które odgrywają
istotną rolę w fizyce kwantowej i matematyce. Genialne odkrycie matematyczne może zmieścić się
w jednej linii lub wypełnić całą encyklopedię – wszystko zależy od tego, czego wymaga dane
zagadnienie.
Gdy myślimy o matematyce, zwykle wyobrażamy sobie grube księgi wypełnione gęsto symbolami
i wzorami. Jednak wspomniane dwa miliony stron zawierają więcej słów niż symboli. Słowa są
potrzebne, by wyjaśnić kontekst zagadnienia, omówić przebieg argumentacji, znaczenie obliczeń
i wyjaśnić, jak to wszystko wpasowuje się w nieustannie rozrastającą się strukturę matematyki.
Wielki Carl Friedrich Gauss zauważył około roku 1800, że istotą matematyki są „pojęcia, a nie
równania”. Idee, a nie symbole. To prawda, ale faktem jest, że matematyczne idee wyraża się
najczęściej za pomocą symboli. Wiele artykułów naukowych zawiera więcej symboli niż słów.
Wzory pozwalają na uzyskanie takiej dokładności wyrażania myśli, jaką trudno byłoby osiągnąć za
pomocą słów.
Nierzadko można jednak wyjaśnić matematyczne idee bez użycia wielu symboli. Książka
Wielkie
problemy matematyczne
jest przykładem właśnie takiego podejścia. Objaśnia, czym zajmują się
matematycy, w jaki sposób rozumują i dlaczego ich dziedzina jest ciekawa i ważna. Co istotne,
pokazuje też, w jaki sposób dzisiejsi matematycy stawiają czoło wyzwaniom rzuconym przez
poprzednie pokolenia uczonych i wykorzystując dostępne obecnie potężne techniki obliczeniowe,
rozwiązują po kolei wielkie zagadki przeszłości – zmieniając przy okazji samą matematykę i nauki
ścisłe. Matematyka jest jednym z największych osiągnięć ludzkości i jej wielkie problemy,
rozwiązane i nierozwiązane, już od tysiącleci są siłą napędową leżącą u podstaw jej zdumiewającej
mocy – i bez wątpienia będą pobudzały jej rozwój jeszcze przez kolejne tysiąclecia.
Coventry, czerwiec 2012 roku
Autorzy ilustracji
Ryc. 31
–
http://random.mostlymaths.net
Ryc. 33
– Carles Simó. Ilustracja pochodzi z książki
European Congress of Mathematics,
Budapest 1996
(Europejski
kongres matematyczny, Budapeszt 1996
), „Progress in Mathematics”
tom 168, Birkhäuser, Bazylea.
Ryc. 43
– Pablo Mininni.
Ryc. 46
– University College, Cork, Irlandia.
Ryc. 50
– Wolfram MathWorld.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin