fraktale.pdf

Fraktale

Geometria fraktalna spowoduje, że zobaczysz świat innymi

oczyma. W dalszej lekturze kryje się niebezpieczeństwo.

Możesz utracić swój nabyty w dzieciństwie sposób patrzenia na

świat. Inne wydadzą Ci się chmury, lasy, galaktyki, liście, pióra,

skały, góry, wzory na wodzie, dywanach, murach i wiele innych

rzeczy. I już nigdy nie będą te same.

Michael F. Barnsley

Na wstępie chciałbym zachęcić wszystkich pasjonatów tą niezwykłą dziedziną nauki do zapoznania

się z książką niemieckich uczonych H.-O. Peitgen, H. J ò rgens i D. Saupe przetłumaczoną na język

polski i wydaną przez PWN w 1997r. a zatytułowaną „Granice chaosu. Fraktale”

Co to jest „fraktal”?

Na to pozornie łatwe pytanie bardzo trudno odpowiedzieć. Jak dotąd nie powstała jedna

obowiązująca na całym świecie definicja tego słowa. Jednak definicje, które znam są do siebie

bardzo podobne, a zatem podam wszystkie te najpopularniejsze:

Fraktal – skomplikowana figura matematyczna otrzymywana wg matematycznego przeważnie

techniką komputerową. Fraktal jest w ogólności podzbiorem przestrzeni R n , obiektem, którego

wymiar nie jest liczbą całkowitą. Pojęcie „fraktal” wprowadził amerykański matematyk B.

Mandelbrot w latach 70 XX w.

Wg „Popularna Encyklopedia A-Z”, Kraków 1997r. wyd. Kluszczyński

Fraktal - obiekt, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)

jest większy od wymiaru topologicznego. Wymiar fraktalny D może być różnie

zdefiniowany, najczęściej na podstawie relacji między powierzchnią lub objętością

fraktala A(r) a jego długością r: A(nr) = n D A(r), gdzie: A(nr) - powierzchnia lub objętość

fraktala po przeskalowaniu jego długości przez czynnik n. Wymiar ten przyjmuje dla

fraktala wartości niewymierne, wskazując jednocześnie w jaki sposób fraktal wypełnia

przestrzeń, w której jest osadzony. Proste fraktale wykazują "samopodobieństwo"

- obrazy ich struktury są takie same w każdej skali.

Matematycznymi przykładami fraktali są: zbiór Cantora (0,631), płatek śniegowy von

Koch (1,262), uszczelka Sierpińskiego (1,585), kostka Mengera (2,727), zbiór Mandelbrota

(w nawiasie podano przybliżony wymiar fraktalny).

Wiele obiektów i zjawisk spotykanych w przyrodzie może być modelowanych za pomocą

geometrii fraktali. Należą do nich np. linia brzegowa, zbocza górskie, systemy

komórkowe, powierzchnia białek, struktura polimerów, chmury, dyfuzyjnie limitowana

agregacja (np. podczas elektrolitycznego wydzielania metali). Pojęcie fraktala jest

ważnym elementem teorii chaosu.

„Wielka Internetowa Encyklopedia Multimedialna”

Fraktale - to struktury geometryczne, których ścisła definicja nie istnieje, a najbardziej precyzyjna

wiąże się z pojęciem wymiaru Hausdorffa i nie jest łatwa do zrozumienia. Bardziej przystępnie

mówiąc o fraktalach można stwierdzić iż są one zaprzeczeniem geometrii euklidesowej. Chodzi o

to, że figury takie jak prostokąt czy trójkąt zostały wymyślone przez ludzi w celu uproszczenia

faktycznego wizerunku przyrody i tak naprawdę nie spotykamy ich w otaczającej nas

rzeczywistości np. chmura nie jest elipsą, jej kształt jest o wiele bardziej skomplikowany, mówimy

fraktalny.

Samopodobieństwo jest charakterystyczną cechą fraktali. Figura jest samopodobna, jeżeli istnieje

możliwość przedstawienia jej jako sumy idntycznych fragmentów podobnych do niej w skali s.

Wymiar fraktalny jest szczególnym przypadkiem wymiaru Hausdorffa i wyraża się nastepującą

zleżnością:

d = log s n , gdzie:

d - wartość wymiary fraktalnego

s - skala podobieństwa (z def samopodobieństwa)

n - ilość kawałków podobnych do figury wyjściowej

Dla fraktali wartość d przeważnie nie jest liczbą całkowitą!

Internet

Fraktale - (ang. fractals) to wielokolorowe, nieregularne obrazy generowane przez

komputer . Fraktale cechują się tym, że w ich większym fragmencie można znaleźć

identyczny, pomniejszony fragment całości. Fraktale są blisko związane z teorią chaosu,

która próbuje dowieść, że we wszechświecie panuje większy ład niż się powszechnie

przyjmuje. Matematyczne formuły na tworzenie fraktali zostały opracowane przez

amerykańskiego matematyka Benoita Mandelbrota.

Internet

Chaos - pojęcie wyrażające przebieg ewolucji układów chaotycznych. Układ uważany

jest za chaotyczny, gdy w jego mapie przestrzeni stanów występują punkty siodłowe,

punkty przecięcia homokliniczne (skrzyżowanie przypływu i odpływu tej samej

trajektorii) i heterocykliczne (skrzyżowanie przypływu i odpływu różnych trajektorii).

U podstaw opisu ewolucji układu chaotycznego (w przestrzeni stanów) leżą operacje

rozciągania i składania trajektorii tego układu (opisanych przez nieliniowe,

deterministyczne równania różniczkowe) - w czasie ciągłym lub dyskretnym.

Trajektorie mogą przyjmować ostatecznie (w przestrzeni trój- lub wyżej wymiarowej)

kształt dziwnego atraktora, który ma skończone wymiary, nie ma gładkiej powierzchni i

jest fraktalem.

Nieprzewidywalność zjawisk chaotycznych wynika z rozchodzenia się sąsiednich

trajektorii i jednoczesnej wrażliwości układu na znikomo małe zaburzenia (fluktuacje),

powodujące zmianę trajektorii, dzięki czemu stan układu, bardzo zbliżony do innego

stanu, może zupełnie inaczej ewoluować.

Niewielka niepewność pomiaru lub niewielkie zakłócenia ulegają wzmocnieniu. Zjawiska

chaotyczne występują w ruchach płynów, stanach pogody, reakcjach chemicznych (np.

reakcje Biełousowa-Żabotyńskiego), obwodach elektrycznych, komórkach nerwowych,

sercu, przemianach społecznych i ekologicznych, a nawet - w klasycznej mechanice

Newtona.

Internet

Na razie to tylko tyle, lecz już niebawem

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: