notatek-pl-egzamin-podstawy-robotyki-2.pdf

EGZAMIN PODSTAWY ROBOTYKI 2 – 2010

1. Podać definicje modelu dynamiki różniczkowego oraz całkowego w postaci

ogólnej oraz związek, który pomiędzy nimi występuje. [opracowane na podstawie:

„Modelowanie i sterowanie robotów”- Kozłowski, Dutkiewicz, Wróblewski]

•

model różnicowy

Ogólna postać modelu matematycznego z wykorzystaniem Lagrangianu jest

następująca:

(

)

(

)

(

)

gdzie:

- M(q ) – jest dodatnio określoną macierzą mas manipulatora, macierz ta

grupuje właściwości masowe manipulatora;

(

# - jest wektorem momentów sił dośrodkowych i Coriolisa;

)

( g - jest N-wymiarowym wektorem momentów sił związanych z

grawitacją, przy czym:

)

(

)

;

T - wektor reprezentujący momenty sił niepotencjalnych przyłożonych do

układu;

Zwróćmy uwagę na fakt, że momenty sił interakcji

(M wynikają z elementów

leżących po za diagonalą macierzy mas, natomiast elementy macierzy

)

q #

)

# spełniają następujące równanie:

(

∑

# ∑∑

−

Często różnicowy model matematyczny zapisujemy w postaci:

(

) X

# ,

gdzie: - D – jest macierzą o wymiarach N×12N;

X – jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;

•

model całkowy

Model całkowy wynika z twierdzenia o energii z klasycznej mechaniki analitycznej:

(

)

(

)

( )

∫ #

−

- T - jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;

gdzie:

( )

(

( )

)

kc + – jest sumą całkowitych energii kinetycznej

potencjalnej w chwili t;

Całkę występującą po prawej stronie równania można zapisać w postaci:

∫

dlX

gdzie:

- dl – jest wektorem zależnym od wektorów położeń i prędkości uogólnionych;

X - jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;

•

model różnicowy, a całkowy:

model całkowy dynamiki jest zależny jedynie od wektorów prędkości i

położeń uogólnionych;

w modelu różnicowym wyprowadzanym z Lagrangianu występuje różnica

energii kinetycznej i potencjalnej, w modelu całkowym wyprowadzanym z

twierdzenia o energii występuje ich suma;

związek pomiędzy modelami określa wektor parametrów dynamicznych

manipulatora X , występujący w obydwu modelach;

2. Podać postać ogólna równań dynamiki dla robota mobilnego o napędzie różnicowym

z ograniczeniem na poślizg poprzeczny. W jaki sposób można wyeliminować

mnożnik Lagrange'a występujący w tych równaniach? [opracowane na podstawie:

wykłady z PR2 z roku 2005 oraz ‘Modeli dynamicznych’: źródło:SzerokoPojętyInternet]

Kinematyka układu robotycznego podlega l niezależnym ograniczeniom fazowym typu Pfaffa

( )

q #

Ponadto korzystamy z Zasady d’Alamnberta, w myśl której siły uogólnione F zapewniające

spełnienie ograniczeń fazowych nie będą wykonywać pracy na dopuszczalnych

przemieszczeniach. Po przeprowadzeniu uproszczeń dochodzimy do wektora mnożników

Lagrange’a LÎR l takich, że:

( )

( ) L

⇒

Dla przedstawionego powyżej robota mobilnego dwukołowego o napędzie różnicowym

ogólne równania dynamiki przyjmują postać:

( )

(

)

( )

( ) L

−

gdzie:

( ) L

A T

- określają siły reakcji układu;

( )

- macierz transformacji sygnału wejściowego;

(

)

V m

- macierz oddziaływań;

( )

M - macierz mas;

* T - jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;

Powyższą zależność otrzymano przy założeniu, że robot porusza się po terenie płaskim

( Epc=0; L=Ekc ), co wyeliminowało element g(q) podawany przez inne źródła.

( ) ( )

( )

Eliminujemy mnożniki Lagrange korzystając z własności:

( )

Po obustronnym pomnożeniu powyższego równania przez macierz:

S T

oraz

( ) N

( )

( ) N

uwzględnieniu zależności

q =

oraz własności macierzy A(q) i S(q)

otrzymujemy równanie:

( )

( ) ( )

[

( )

( ) ( )

( )

(

) ( )

]

( ) ( ) T

(

które zapisujemy w postaci:

( )

(

)

( ) T

3. Dla robota dwukołowego przedstawionego na rysunku podać warunki istnienia

poślizgu wzdłużnego oraz poprzecznego. Warunki holonomiczne oraz

nieholonomiczne podać w formie Pfaffa. Podać stosowne wyprowadzenia. Punkt C

jest środkiem masy pojazdu. [opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf]

W tym zadaniu robot jest zaopatrzony w dwa niezależne napędy

# . Punkt C jest

środkiem masy, punkt P – środkiem geometrycznym. Możemy zapisać równania zależności:

( )

# i

cos

sin

Równania różniczkujemy po czasie:

( )

−

sin

cos

Pierwsze równanie mnożymy razy – sin( Q ) , drugie razy cos( Q ), następnie dodajemy je do

siebie stronami:

( )

(

( )

)

−

sin

cos

−

sin

cos

sin

cos

( )

−

sin

cos

−

sin

cos

Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi poprzecznej robota:

Wszystkie rzuty prędkości na oś Y c muszą się równoważyć. Otrzymane składowe:

(

)

( )

cos

−

sin

( )

cos

Ostatnia składowa wynika z prędkości kątowej.

( )

# #

Powyższe równanie jest niecałkowalne po czasie, zatem jest to ograniczenie

nieholonomiczne.

( )

−

sin

−

cos

Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi podłużnej robota:

Uwzględniamy rzuty prędkości

# i

# na oś X c :

( )

(

cos

)

( )

cos

−

sin

Ponadto dla koła prawego uwzgl ę dniamy pr ę dko ść post ę pow ą i pr ę dko ść wynikaj ą c ą z obrotu

kół wokół środka. Warunek dla koła prawego:

( )

cos

sin

−

Postępujemy analogicznie dla lewego koła i otrzymujemy warunek dla koła lewego:

( )

cos

sin

−

Obydwa warunki są niecałkowalne po czasie, a więc są to również ograniczenia

nieholonomiczne.

Przedstawienie uzyskanych ograniczeń w postaci Pfaffa:

( )

Wektor współrzędnych konfiguracyjnych q=[x c y c Q J P J L ].

−

sin

cos

−

( )

−

cos

−

sin

−

cos

−

sin

Macierz zawiera 3 warunki nieholonomiczne. Można przekształcić uzyskane ograniczenia,

aby uzyskać ograniczenia holonomiczne.

Równania opisujące warunki braku poślizgu podłużnego można przekształcić do całkowalnej

postaci:

(

)

−

które prowadzi do uzyskania nowej macierzy:

−

sin

cos

−

( )

A 1

−

cos

−

sin

−

Macierz zawiera 2 warunki nieholonomiczne i jeden holonomiczny.

4. Wykazać, że warunek prędkościowy poślizgu poprzecznego przy jeździe na wprost

ze stałą prędkością V dla robota mobilnego z mechanizmem różnicowym ma

charakter warunku holonomicznego. [opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf i

tego co w mojej głowie(!więc mogą być bzdury!)]

Ponieważ robot porusza się na wprost, ze stałą prędkością, należy poczynić pewne założenia:

const

Następnie należy przeprowadzić rozumowanie analogiczne do poprzedniego punktu z

uwzględnieniem w/w założeń.

( )

cos

sin

Równania różniczkujemy po czasie:

Warunek na brak poślizgu poprzecznego: rzuty wszystkich prędkości na oś Y c równoważą

się. Otrzymane składowe:

( )

cos

sin

Brakuje występującej w poprzednim zadaniu składowej wynikającej z prędkości obrotowej,

ponieważ ruch jest prostoliniowy, W=0. Warunek braku poślizgu poprzecznego:

( )

x ##

Powyższe wyrażenie jest całkowalne po czasie, ponieważ kąt Q jest stały, funkcje cos(Q) i

sin(Q) są stałymi współczynnikami. Całka z powyższego równania wynosi:

( )

−

cos

sin

( )

cos

sin

a więc jest to ograniczenie całkowalne, holonomiczne.

5. Sformułować zadanie pasywności dla układu mechanicznego. [opracowane na

podstawie: forum i wykłady z PR2 z 2010 roku]

Wszystkie układy mechaniczne, w których nie ma dysypacji energii (nie występuje tarcie)

spełniają zasadę pasywności.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: