notatek-pl-egzamin-podstawy-robotyki-2(1).pdf
(
305 KB
)
Pobierz
EGZAMIN PODSTAWY ROBOTYKI 2 – 2010
1.
Podać definicje modelu dynamiki różniczkowego oraz całkowego w postaci
ogólnej oraz związek, który pomiędzy nimi występuje.
[opracowane na podstawie:
„Modelowanie i sterowanie robotów”- Kozłowski, Dutkiewicz, Wróblewski]
•
model różnicowy
Ogólna postać modelu matematycznego z wykorzystaniem Lagrangianu jest
następująca:
M
(
q
)
#
q
+
C
(
q
,
q
#
)
q
#
+
g
(
q
)
=
T
gdzie:
-
M(q
) – jest dodatnio określoną macierzą mas manipulatora, macierz ta
grupuje właściwości masowe manipulatora;
-
C
(
q
,
q
#
- jest wektorem momentów sił dośrodkowych i Coriolisa;
)
-
(
g
- jest N-wymiarowym wektorem momentów sił związanych z
grawitacją, przy czym:
)
dE
pc
g
(
q
)
=
;
dq
-
T - wektor reprezentujący momenty sił niepotencjalnych przyłożonych do
układu;
Zwróćmy uwagę na fakt, że momenty sił interakcji
(M wynikają z elementów
leżących po za diagonalą macierzy mas, natomiast elementy macierzy
)
q
#
)
#
spełniają następujące równanie:
C
(
q
,
q
¶
M
¶
M
N
N
N
1
∑
#
∑∑
ij
jk
C
q
=
−
q
#
q
#
ij
j
j
k
¶
q
2
¶
q
j
=
1
j
=
1
k
=
1
k
i
Często różnicowy model matematyczny zapisujemy w postaci:
(
)
X
#
,
#
T
=
D
q
,
q
q
gdzie: -
D
– jest macierzą o wymiarach N×12N;
-
X
– jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;
•
model całkowy
Model całkowy wynika z twierdzenia o energii z klasycznej mechaniki analitycznej:
t
2
(
(
)
(
)
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
∫
#
T
T
q
dt
=
E
t
+
E
t
−
E
t
+
E
t
=
H
t
−
H
t
kc
2
pc
2
kc
1
pc
1
2
t
1
-
T
- jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;
-
gdzie:
( )
(
( )
( )
)
H
kc
+ – jest sumą całkowitych energii kinetycznej
potencjalnej w chwili t;
t
=
E
t
E
t
pc
Całkę występującą po prawej stronie równania można zapisać w postaci:
t
2
∫
T
#
J
=
T
q
dt
=
dlX
t
1
gdzie:
-
dl
– jest wektorem zależnym od wektorów położeń i prędkości uogólnionych;
-
X
- jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;
•
model różnicowy, a całkowy:
-
model całkowy dynamiki jest zależny jedynie od wektorów prędkości i
położeń uogólnionych;
-
w modelu różnicowym wyprowadzanym z Lagrangianu występuje różnica
energii kinetycznej i potencjalnej, w modelu całkowym wyprowadzanym z
twierdzenia o energii występuje ich suma;
-
związek pomiędzy modelami określa wektor parametrów dynamicznych
manipulatora
X
, występujący w obydwu modelach;
2. Podać postać ogólna równań dynamiki dla robota mobilnego o napędzie różnicowym
z ograniczeniem na poślizg poprzeczny. W jaki sposób można wyeliminować
mnożnik Lagrange'a występujący w tych równaniach?
[opracowane na podstawie:
wykłady z PR2 z roku 2005 oraz ‘Modeli dynamicznych’: źródło:SzerokoPojętyInternet]
Kinematyka układu robotycznego podlega
l
niezależnym ograniczeniom fazowym typu Pfaffa
( )
A
q
#
q
=
0
Ponadto korzystamy z Zasady d’Alamnberta, w myśl której siły uogólnione F zapewniające
spełnienie ograniczeń fazowych nie będą wykonywać pracy na dopuszczalnych
przemieszczeniach. Po przeprowadzeniu uproszczeń dochodzimy do wektora mnożników
Lagrange’a LÎR
l
takich, że:
( )
( )
L
F
=
L
T
A
q
⇒
F
=
A
T
q
Dla przedstawionego powyżej robota mobilnego dwukołowego o napędzie różnicowym
ogólne równania dynamiki przyjmują postać:
( )
(
)
( )
( )
L
#
#
#
T
M
q
q
+
V
q
,
q
q
=
B
q
T
−
A
q
m
gdzie:
( )
L
*
A
T
q
- określają siły reakcji układu;
( )
*
B
q
- macierz transformacji sygnału wejściowego;
(
#
)
*
V
m
q
,
q
- macierz oddziaływań;
( )
*
M
- macierz mas;
* T - jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;
Powyższą zależność otrzymano przy założeniu, że robot porusza się po terenie płaskim
(
Epc=0; L=Ekc
), co wyeliminowało element
g(q)
podawany przez inne źródła.
( ) ( )
( )
( )
Eliminujemy mnożniki Lagrange korzystając z własności:
A
q
S
q
=
0
Û
S
T
q
A
T
q
=
0
.
( )
Po obustronnym pomnożeniu powyższego równania przez macierz:
S
T
q
oraz
#
( )
N
( )
( )
N
#
#
#
uwzględnieniu zależności
q
=
S
q
,
q
=
S
q
N
+
S
q
oraz własności macierzy
A(q)
i
S(q)
otrzymujemy równanie:
( )
#
( ) ( )
[
( )
( ) ( )
( )
(
) ( )
]
( ) ( )
T
T
#
T
T
#
T
S
q
M
q
S
q
N
+
S
q
M
q
S
q
+
S
q
(
V
q
,
q
S
q
N
=
S
q
B
q
m
które zapisujemy w postaci:
( )
(
)
( )
T
M
q
N
#
+
V
q
,
q
#
N
=
B
q
.
3. Dla robota dwukołowego przedstawionego na rysunku podać warunki istnienia
poślizgu wzdłużnego oraz poprzecznego. Warunki holonomiczne oraz
nieholonomiczne podać w formie Pfaffa. Podać stosowne wyprowadzenia. Punkt C
jest środkiem masy pojazdu.
[opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf]
W tym zadaniu robot jest zaopatrzony w dwa niezależne napędy
#
. Punkt C jest
środkiem masy, punkt P – środkiem geometrycznym. Możemy zapisać równania zależności:
( )
( )
#
i
x
=
x
+
d
cos
Q
c
p
y
=
y
+
d
sin
Q
c
p
Równania różniczkujemy po czasie:
#
( )
( )
#
x
=
x
#
−
d
Q
sin
Q
c
p
#
y
#
=
#
y
+
d
Q
cos
Q
c
p
Pierwsze równanie mnożymy razy –
sin(
Q
)
, drugie razy
cos(
Q
),
następnie dodajemy je do
siebie stronami:
( )
( )
( )
( )
#
(
( )
( )
)
−
#
x
sin
Q
+
y
#
cos
Q
=
−
#
x
sin
Q
+
y
#
cos
Q
+
d
Q
sin
2
Q
+
cos
2
Q
c
c
p
p
( )
( )
( )
( )
#
−
#
x
sin
Q
+
y
#
cos
Q
=
−
#
x
sin
Q
+
y
#
cos
Q
+
d
Q
c
c
p
p
Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi poprzecznej robota:
Wszystkie rzuty prędkości na oś Y
c
muszą się równoważyć. Otrzymane składowe:
(
)
( )
#
A
#
x
cos
90
−
Q
=
x
sin
Q
c
c
( )
y
#
cos
Q
c
#
W
×
d
=
Q
d
Ostatnia składowa wynika z prędkości kątowej.
( )
#
#
Powyższe równanie jest niecałkowalne po czasie, zatem jest to ograniczenie
nieholonomiczne.
( )
−
x
sin
Q
−
Q
d
+
y
#
cos
Q
=
0
c
c
Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi podłużnej robota:
Uwzględniamy rzuty prędkości
#
i
#
na oś X
c
:
c
c
#
( )
(
x
cos
Q
c
)
( )
#
A
#
y
cos
90
−
Q
=
y
sin
Q
c
c
Ponadto dla koła prawego uwzgl
ę
dniamy pr
ę
dko
ść
post
ę
pow
ą
i pr
ę
dko
ść
wynikaj
ą
c
ą
z obrotu
kół wokół środka. Warunek dla koła prawego:
( )
( )
#
#
x
#
cos
Q
+
#
y
sin
Q
−
r
J
+
R
Q
=
0
c
c
p
Postępujemy analogicznie dla lewego koła i otrzymujemy warunek dla koła lewego:
( )
( )
#
#
x
#
cos
Q
+
#
y
sin
Q
−
r
J
−
R
Q
=
0
c
c
l
Obydwa warunki są niecałkowalne po czasie, a więc są to również ograniczenia
nieholonomiczne.
Przedstawienie uzyskanych ograniczeń w postaci Pfaffa:
( )
A
q
q
=
0
Wektor współrzędnych konfiguracyjnych
q=[x
c
y
c
Q
J
P
J
L
].
−
sin
Q
cos
Q
−
d
0
0
( )
A
q
=
−
cos
Q
−
sin
Q
−
R
r
0
−
cos
Q
−
sin
Q
R
0
r
Macierz zawiera 3 warunki nieholonomiczne. Można przekształcić uzyskane ograniczenia,
aby uzyskać ograniczenia holonomiczne.
Równania opisujące warunki braku poślizgu podłużnego można przekształcić do całkowalnej
postaci:
r
(
)
#
#
#
Q
=
J
−
J
P
L
2
R
które prowadzi do uzyskania nowej macierzy:
−
sin
Q
cos
Q
−
d
0
0
( )
A
1
q
=
−
cos
Q
−
sin
Q
−
R
r
0
0
0
−
2
R
r
−
r
Macierz zawiera 2 warunki nieholonomiczne i jeden holonomiczny.
4. Wykazać, że warunek prędkościowy poślizgu poprzecznego przy jeździe na wprost
ze stałą prędkością
V
dla robota mobilnego z mechanizmem różnicowym ma
charakter warunku holonomicznego.
[opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf i
tego co w mojej głowie(!więc mogą być bzdury!)]
Ponieważ robot porusza się na wprost, ze stałą prędkością, należy poczynić pewne założenia:
#
1)
=
0
2)
J
=
J
=
J
L
P
#
3)
=
const
.
Następnie należy przeprowadzić rozumowanie analogiczne do poprzedniego punktu z
uwzględnieniem w/w założeń.
( )
( )
x
=
x
+
d
cos
Q
c
p
y
=
y
+
d
sin
Q
c
p
Równania różniczkujemy po czasie:
#
#
x
=
x
c
p
#
#
y
=
y
c
p
Warunek na brak poślizgu poprzecznego: rzuty wszystkich prędkości na oś Y
c
równoważą
się. Otrzymane składowe:
#
( )
( )
x
#
cos
Q
y
sin
Q
Brakuje występującej w poprzednim zadaniu składowej wynikającej z prędkości obrotowej,
ponieważ ruch jest prostoliniowy, W=0. Warunek braku poślizgu poprzecznego:
( )
( )
x
##
Powyższe wyrażenie jest całkowalne po czasie, ponieważ kąt Q jest stały, funkcje cos(Q) i
sin(Q) są stałymi współczynnikami. Całka z powyższego równania wynosi:
( )
−
cos
Q
+
y
sin
Q
=
0
( )
x
cos
Q
+
y
sin
Q
=
0
a więc jest to ograniczenie całkowalne, holonomiczne.
5. Sformułować zadanie pasywności dla układu mechanicznego.
[opracowane na
podstawie: forum i wykłady z PR2 z 2010 roku]
Wszystkie układy mechaniczne, w których nie ma dysypacji energii (nie występuje tarcie)
spełniają zasadę pasywności.
Plik z chomika:
xyzgeo
Inne pliki z tego folderu:
Badanie własności napędów elektrycznych stosowanych w robotyce(3).pdf
(5100 KB)
Implementacja algorytmów sterowania osi robota(3).pdf
(3744 KB)
nanotecwiring(1)(3).JPG
(141 KB)
vextawiring(3).jpg
(135 KB)
Badanie własności napędów elektrycznych stosowanych w robotyce(2).pdf
(5100 KB)
Inne foldery tego chomika:
Pliki dostępne do 27.02.2021
!!! aktualne !!!
!Game Hacking Tutorial!
!Kurs MySQL!
%coursera% (xyz)
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin