R7.doc

Rozdział 7

7. ANALIZA TRENDU LINIOWEGO PRZY RÓŻNYCH ZAKRESACH ZMIENNOŚCI ZMIENNEJ CZASOWEJ t

[Przy komputerowym wspomaganiu własnych obliczeń można wykorzystać dane liczbowe zgromadzone w zbiorze RRMELATA]

Dane (w mln PLN) od stycznia do grudnia 1996 roku o łącznych średnich wartościach rynkowych spółek rynku równoległego są następujące (por. "Rynek Giełdowy", 1996 nr 1-4, s. 3 lub tablice 2.2 lub 3.2, Problemy i zadania 2 i 3): 415, 524, 630, 751, 754, 684, 645, 681, 792, 885, 885, 941. Kolejnym miesiącom przyporządkowana jest zmienna czasowa t, która przyjmuje wartości:

a) od 1 do 12, czyli t = 1,2,..., n;

b) od 0 do 11, czyli t = 0,1,..., n - 1;

c) od ujemnych wartości do dodatnich i takich, iż sumują się do zera, czyli

t* = -5,5; -4,5; -3,5; -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5, gdzie Σ t* = 0.

Metodą najmniejszych kwadratów oszacowano parametry strukturalne i stochastyczne liniowego modelu trendu łącznej średniej wartości rynkowej spółek rynku równoległego z kolejnych miesięcy 1996 roku. Obliczono współczynniki determinacji.

Wyniki oszacowań podajemy w tradycyjnie przyjętej formie zapisu:

a)  yt =  37,6469 t   +   470,879   +   et,                r2= 0,7845;

        [6,2394]         [45,920]       [74,6117]

b)  yt =  37,6469 t   +   508,526   +   et,                r2 = 0,7845;

        [6,2394]         [40,516]       [74,6117]

c)  yt =  37,6469 t* +   715,583   +   et,                r2 = 0,7845;

        [6,2394]         [21,538]       [74,6117]

Liniowe funkcje trendu są tu następujące:

a) = 37,647 t + 470,879, dla t = 1,..., n,

b) = 37,647 t + 508,526, dla t = 0,1,..., n - 1,

c) = 37,647 t* + 715,583, dla takiego t, iż Σ t* = 0.

Pytanie 7.1. Czy w podanych wyżej funkcjach trendu współczynnik trendu ma jednakową (i jaką?) interpretację?

Tak, współczynnik trendu ma jednakową interpretację we wszystkich trzech funkcjach trendu. Z jego wartości wynika, że w 1996 roku z miesiąca na miesiąc łączna wartość rynkowa spółek rynku równoległego wzrastała przeciętnie o 37,647 mln PLN.

Pytanie 7.2. Czy w podanych wyżej funkcjach trendu wyrazy wolne mają jednakową (i jaką) interpretację?

Nie, wyrazy wolne nie mogą mieć jednakowej interpretacji, bowiem:

a) dla t = 1,..., n mamy: = ax0 + b = b,

b) dla t = 0,1,... n - 1 mamy: = ax0 + b = b,

c) dla takiego t* iż 3 t* = 0 zapis: = a t* + b jest równoważny zapisowi: = = a t* + , czyli: b = .

Wyjaśnienie warunków, w jakich prawdziwa jest relacja b = jest następujące:

W n-elementowej próbie realizacja b estymatora parametru β metody najmniejszych kwadratów jest, jak wiadomo, dana wzorem

b = - a dla t = 1,..., n lub też t = 0,1,..., n - 1,

oraz wzorem

b = - a dla takiego t*, iż 3 t* = 0.

W wyrażeniu: b = - a mamy = 0, czyli b = .

Powstaje pytanie, jaki jest związek zmiennej czasowej t* spełniającej warunek 3 t* = 0 ze zmiennymi czasowymi t o zakresach zmienności t = 1,..., n oraz t = 0,1,..., n - 1?

Dążąc do odpowiedzi na to pytanie wstawiamy do równania trendu liniowego w miejsce realizacji b estymatora wyrażenie i otrzymujemy:

= = a t + , (t = 1,..., n lub też t = 0,1,..., n - 1) czyli = = a (t - ) + . Wiadomo, że (dla t = 1,..., n oraz t = 0,1,..., n - 1), co wynika z własności średniej arytmetycznej, bowiem . Widzimy zatem, że t* = dla t = 1,..., n i t = 0,1,..., n - 1 oraz = = a t* + .

Odpowiadając na zakończenie dokładnie na pytanie 7.2 interpretujemy wyraz wolny pierwszego równania trendu wynoszący 470,879 mln PLN jako teoretyczny, wynikający z czystego trendu, poziom łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w miesiącu poprzedzającym pierwszy badany miesiąc, czyli w grudniu 1995 roku.

Wyraz wolny drugiego równania trendu wynoszący 508,526 mln PLN interpretujemy jako teoretyczny, wynikający z czystego trendu, poziom łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w pierwszym badanym miesiącu, czyli w styczniu 1996 roku.

Wyraz wolny trzeciego równania trendu wynoszący 715,583 mln PLN jest średnim miesięcznym poziomem łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w 1996 roku.

ZADANIE DOMOWE

Zadanie 7.1

Podana niżej tablica 7.1 pozwala oszacować parametry modelu trendu dla t = 1,..., n "ręcznie", bez wspomagania komputerowego:

Tablica robocza 7.1