Całka nieoznaczona.
Poszukiwanie funkcji F(x), gdy znana jest jej pochodna F’(x)=f(x) nazywa się całkowaniem. Szukaną funkcję określoną i ciągłą w przedziale I nazywa się funkcją pierwotną funkcji f(x). Dla danej funkcji ciągłej y=f(x) istnieje nieskończenie
wiele funkcji pierwotnych, róŜniących się między sobą tylko stałą c:
[F(x)+c]’=F’(x)= f(x)
Definicja 1
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji nazywamy całką nieoznaczoną tej funkcji i oznaczamy symbolem
∫f (x)dx = F(x)+ c
Funkcję f(x) nazywamy funkcją podcałkową, a c-stałą całkowania.
Twierdzenia o całkowaniu
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają funkcje pierwotne, to
∫(f (x)± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx
∫af (x)dx = a∫ f (x)dx ∧ a ∈ R
∫F'(x)dx=F(x)+c, c∈R
Całka oznaczona
Twierdzenie Newtona-Leibnitza. JeŜeli funkcja jest ciągła w przedziale <a,b>, natomiast F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) w tym przedziale to
Różnicę F(b)-F(a) zapisujemy także w postaci:
Twierdzenie to możemy traktować jako definicję całki oznaczonej w odniesieniu do funkcji ciągłej w przedziale <a,b>.
W oparciu o powyższe twierdzenie można sformułować algorytm postępowania przy obliczaniu całki oznaczonej.
1 krok-
obliczamy całkę nieoznaczoną (F(x)),
2 krok-
obliczamy różnicę wartości dowolnej funkcji pierwotnej (np. dla c=0) w górnej i dolnej granicy całkowania
Ważne twierdzenia
Jeżeli g(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b> oraz
to funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b>
Funkcja nieograniczona w przedziale <a,b> nie jest całkowalna
Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a,b>, to jest całkowalna w każdym przedziale częściowym <α, β> ⊂<a, b>.
Własności całek oznaczonych
1. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale domkniętym <a, b>, to funkcje: f(x)+g(x), oraz f(x) g(x) są również całkowalne w przedziale domkniętym <a,b>, przy czym
2. Jeżeli funkcja jest całkowalna w przedziale
domkniętym <a,b> i c∈<a, b> (c jest punktem wewnętrznym przedziału <a, b> , to
3. Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w
przedziale <a, b>, to funkcja αf(x), gdzie α jest dowolną stałą rzeczywistą, jest także całkowalna w przedziale <a, b>, oraz
4. Jeżeli funkcja f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale <a, b>, to również różnica tych funkcji f(x)-g(x) jest funkcją całkowalną w tym przedziale oraz
5. Jeżeli f(x) jest funkcją całkowalną i ograniczoną (m ≤ f(x) ≤ M ), w przedziale <a, b>
6. Jeżeli f(x) jest całkowalna w przedziale domkniętym <a, b>, to
7. Jeżeli f(x) jest ciągła w przedziale <a, b>, to
istnieje taka liczba c∈(a,b), że
definicja
Wyrażenie
nazywamy wartością średnią funkcji f(x) w
przedziale <a, b>
8. Jeżeli f(x) jest całkowalna w przedziale <a, b> to
9 Jeżeli granica całkowania górna i dolna jest taka sama to
Lauviah666