fiz.docx

1. Wektor - definicja, własności przykłady.

Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów, z których jeden jest początkiem a drugi końcem wektora. Odległość między tymi punktami nazywamy długością wektora (modułem).  Wektor posiada kierunek - prostą, na której działa dana wielkość; zwrot - stronę, w którą jest zwrócony wektor,  graficznie określana symbolem strzałki; wartość - reprezentowana przez długość wektora i punkt zaczepienia.

Wielkość wektorowa to taka wielkość, która posiada wartość (może być = 0), punkt zaczepienia, kierunek, zwrot oraz jednostkę.

Wektory równe są to wektory równoległe (mają ten sam kierunek) i mają jednakowe długości i zwroty; przeciwne - mają jednakowy kierunek (są równoległe) i jednakową długość, ale ich zwroty są przeciwne.

Wektor jednostkowy (wersor) jest to wektor o długości równej 1, skierowany w określonym kierunku. Nie ma on wymiaru ani jednostki, służy tylko do wyznaczania kierunku.

Początkowo w astronomii wektor był określany jako linia prosta łącząca planetę poruszającą się dookoła środka lub ogniska elipsy z tym środkiem lub ogniskiem.

Składową wektora nazywamy jego rzut na oś. proces znajdowania składowych wektora nazywamy jego rozkładem na składowe.

Wektorowe ujęcie praw fizyki jest niezależne od wyboru osi współrzędnych.

Przykłady wielkości wektorowych: prędkość, przeyspieszenie, siła, pęd, moment pędu.

Pseudowektory - nie są wektorami choć posiadają wartość, kierunek i zwrot ale nie dodają się jak wektory.

2. Tensor - definicja, właściwości, przykłady.

Tensor to uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne, niezależnie od wybranego układu współrzędnych. jednym z czynników klasyfikujących tensory jest jego rząd, czyli liczba wskaźników niezbędnych do jego scharakteryzowania. Wektor jest tensorem pierwszego rzędu (np. siła, pęd). Tensor drugiego rzędu jest reprezentowany macierzowo (np. naprężenie odkształcenie). Tensor trzeciego rzędu np. tensor modułów piezoelektrycznych.

3. Iloczyn skalarny - definicja, właściwości przykład.

Skalar jest to wielkość, którą możemy wyrazić liczbą, nie zależy od  wyboru układu współrzędnych. Skalary podlegają zwykłym prawom algebry. Przykłady wielkości skalarnych: temperatura, ciśnienie, energia, masa.

Iloczyn skalarny dwóch wektrów jest to wielkość skalarna równa iloczynowi długości obydwu wektorów oraz cosikusa kąta zawartego między kierunkami tych wektorów. Iloczyn skalarny można uważać za iloczyn dwóch wielkości: modułu jednego z wektorów i składowej drugiego wektora w kierunku pierwszego. jeżeli kąt między wektorami jest równy 0 to składowa jednego wektora w kierunku drugiego jest maksymalna, więc iloczyn skalarny tych wektorów jest największy; jeśli zaś jest równy 90 (wektory są prostopadłe) to iloczyn jest równy 0. W zależności od kąta iloczyn skalarny może byc wartością dodatnią, ujemną bądź równą 0.

Iloczyn skalarny jest przemienny. Przykładem może być moc jako prędkość wykonywanej pracy przy stałej sile.

4. Iloczyn wektorowy - definicja, właściwości, przykład.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem, którego długość jest równa wartości iloczynu  obu wektorów oraz sinusa kąta zawartego między kierukami tych wektorów (przy czym jest to mniejszy z kątów między wektorami). Kierunek wektora będącego iloczynem wektorowym jest prostopadly do płaszczyzny, na której leżą te wektory i jego zwrot oznacza reguła śruby prawskrętnej. Kolejność wektorów w iloczynie wektorowym jest istotna ponieważ jest on antyprzemienny. Jeśli wektory są równoległe, to ich iloczyn wektorowy jest równy 0.

Przykład:  Moment pędu punktu materialnego jest iloczynem wektorowym wektora łączącego punkt, względem którego określa się moment pędu o punktu ciała oraz wektora pędu punktu materialnego.

5. Układy współrzędnych - opis.

Ukłąd współrzędnych jest to funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg liczb rzeczywistych zwanymi współrzędnymi punktu.

a) kartezjański - dwie lub trzy prostopadłe do siebie osie, przecinające się wzajemnie w dwoich miejscach zerowych. Punkt ten nazywamy początkiem układy współrzędnych. Każdy punkt w tym układzie ma 2 (ukłąd 2D) lub 3 (układ 3D) współrzędne, określające jego położenie. Układ ten może być lewo- lub prawoskrętny.

b) biegunowy - układ współrzędnych na plaszczyźnie wyznaczony przez pewnien punkt  O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O, zwaną osią biegunową. KAżdemu punktowi P płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe: promień wodzący punktu P (odcinek OP) oraz amplitudę czyli wartość kąta pomiędzy półprostą OS a wektorem OP. Układ ten stosujemy jeśli mamy do czynienia z obrotem ciał.

c) sferyczny - jest to układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni. Każdemu punktowi P w tym układzie przypisujemy współrzędne sferyczne: promień wodzący czyli odległość punktu P od początku układu współrzędnych O; długość azymutalną czyli kąt pomiędzy wyróżnioną plaszczyzną (horyzontem, euliptyką, równikiem niebieskim - w zależności od rodzaju układu) a prostą wiodącą od abserwatora do ciała niebieskiego;  odległość zenitalna - kąt między płaszczyzną wybranego koła wielkiego, prostopadłego do wyróżnionej płaszczyzny a kołem wielkim przechodzącym przez dane ciało.

( lub: promień wodzący, miarę kąta między rzutem wektora OP na płaszczyznę OXY a osią OX i miarę kąta między wektorem OP a jego rzutem na płaszczzynę OXY)  tu chyba trzeba rysunek, bo pewnie się przyczepi, że nie wiadomo o co chodzi

d) walcowy (cylindryczny)  jest to układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni. Każdy punkt P w tym ukłądzie ma trzy współrzędne: odległość rzutu punktu P na płaszczyznę OXY od osi OZ;  kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym w/w rzut punktu P z początkiem układu współrzędnych; odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku ukł. wsp. (RYS!)

7. Wielkości kinematyczne - podstawowe definicje.

a) prędkość - jest to wielkość wektorowa, która określa zarówno szybkość ruchu jak i jego kierunek w danej chwili. Jednostką prędkości jest metr na sekundę. Prędkość średnia jest to iloraz całkowitej zmiany położenia ciała do całkowitego czasu, w jakim to położenie zmieniło. Prędkość średnia nie zależy od drogi, po jakiej poruszała się cząstka ale od jej położenia początkowego  i  końcowego. Prędkość chwilową otzrymujemy z prędkości średniej zmniejszając przedział czasu do wartości coraz bliżej zera, więc jest to pochodna położenia względem czasu i jest w każdej chwili równa nachyleniu prostej stycznej do wykresu położenia cząstki jako fukcji czasu w punkcie odpowiadającym tej chwili.

b) przyspieszenie - wielkość wektorowa, która określa zaminy wektora prędkości w czasie (zarówno wartości jak i kierunku). Jednostką przyspieszenia jest metr na sekundę na sekundę. Przyspieszenie średnie jest iloraz zmiany prędkościa ciałą i przedziału czasu w jakim zaszła ta zmiana. Znak przyspieszenia średniego wskazuje kierunek wektora. Przyspieszenie chwilowe jest równe szybkości zmian prędkości w czasie czyli drugiej pochodnej położenia względem czasu. Na wykresie prędkości jako fukcji czasu przyspieszenie chwilowe jest równe nachyleniu krzywej w punkcie odpowiadającym danej chwili. Jeśli przyspieszenie jest równe zero, oznacza to, że prędkość jest stała; dodatnie - prędkość wzrasta; ujemne - prędkość maleje.

c) przemieszczenie - jest to zmiana położenia ciała w układzie współrzędnych, jest to wielość wektorowa. Jest dodatnie, gdy ciało przemieściło się w dodatnim kierunku osi x, oraz ujemne, jeśli ciało przemieściło się w kierunku ujemnym.

d) punkt materialny - ciało, które posiada masę a nie posiada objętości, W związku z tym nie może drgać ani obracać się wokół własnej osi.

e) ruch - zmiana położenia ciała względem innych ciał, które uważamy za nieruchome.

f) droga - jest to odległość (wielkość skalarna) jaką przebywa ciało po trajektorii ruchu (długość przebytego odcinka toru.

8. Wielkości kinematyczne w ruchu po okręgu - podstawowe definicje.

Ruch cząstki nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu jeśli porusza się ona po okręgu lub kołowym łuku o pewnym promieniu z prędkością o stałej wartości. Przyspieszenie jest skierowane do środka okręgu lub jego ruchu i nazywamy ję przyspieszeniem dośrodkowym

a) prędkość kątowa - jest to pseudowektor; stosunek zmiany kąta wyrażonego w radianach do czasu w jakim kąt ten został zatoczony przez ciało Jednostką jest radian na sekundę.

b) przyspieszenie kątowe  jest to stosunek zmiany prędkości kątowej do czasu w jakims ta zmiana nastąpiła; pseudowektor. Jendostką jest radian na sekundę na sekundę.

c) przyspieszenie dośrodkowe - wielkośc wektorowa; jest to stosunek kwadratu prędkości cząstki do promienia okręgu (łuku) po jakim ta cząstka się porusza.  Wektor przyspieszenia jest zawsze skierowany wzdłuż promienia okręgu ku jego środkowi.

Parametry ruchu po okręgu:

a) okres ruchu - jest to  czas potrzebny cząstce na jednokrotny obieg zamkniętego toru.

b) częstotliwość obiegu - ilość obiegów zamkniętego toru wykonanych przez cząstkę w czasie równym okresowi obiegu.

9. Rzut ukośny - definicja, równanie ruchu, równanie trajektorii.

Rzut ukośny jest to dwuwymiarowy ruch ciała rzuconego pod kątem do poziomu. Jest złożeniem dwóch ruchów: w kierunku poziomym (oś x) i pionowym (oś y). Zgodnie z zasadą superpozycji (zasada niezależności ruchów - jeśli jakiś punkt bierze jednocześnie udział w kilku ruchach to wypadkowe przesunięcie punktu równe jest sumie wektorowej przesunięć wykonanych przez ten punkt w tym samym czasie w każdym z tych ruchów oddzielnie) ruch ten można opisać jako dwa niezależne ruchy: w kierunku poziomym (ruch jednostajny ze stałą prędkością równą iloczynowi prędkości z jaką ciało zostało wyrzucone i cosinusa kąta pod jakim ciało zostało wyrzucone w stosunku do poziomu. Wartość prędkości w kierunku poziomym jest stała przez cały czas trwania rzutu bo nie ma składowej przyspieszenia) oraz w kierunku pionowym (ruch jednostajnie opóźniony z opóźnieniem równym przyspieszeniu ziemskiemu i prędkości równej iloczynowi prędkości początkowej i sinusowi w/w kąta).

Przykładem może być pocisk wystrzelony pod kątem, piłka wystrzelona z armatki pneumatycznej.

równanie ruchu w pionie, poziomie (wzory) => równanie trajektorii przez eliminację t (czas)

Zasięgiem rzutu jest odległość, którą cząstka przebyła w poziomie do chwili jej powrotu na wysokość początkową (tzn. tę z której została wyrzucona). Zasięg jest największe gdy ciało zostaje wyrzucone pod kątem 45.

10. Zasady dynamiki Newtona.

Siła to wielkość wektorowa, która jest miarą oddziaływania mechanicznego innych ciał (otoczenia) na dane ciało. Jest to oddziaływanie, które może nadać ciału przyspieszenie.

Masa jest to wielkość fizyczna charakeryzująca ciało; wielkość skalarna; miara bezwładności ciałą, czyli jego reakcja na działającą na nie siłę oraz prędkość, osiągana pod działaniem tej siły.

I zasada: Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą (siła wypadkowa jest równa zeru) to nie może zmienić się jego prędkość czyli nie może ono przyspieszyć. Jeżeli ciało spoczywa, to pozostanie w spoczynku, a jeśli się porusza, to będzie nadal poruszać się z prędkością o tej samej wartości i kierunku. Inaczej I zas nazywana jest zasadą bezwładności. I zas obowiązuje tylko w układzie inercjalnych czyli właśnie takim w którym cialo spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym gdy wypadkowa siła działająca na nie jest równa 0 (spełnione są zasady dynamiki Newtona).

Siła wypadkowa jest to siła otrzymana przez wektorowe dodanie wszystkich sił składowych działających na dane ciało. Jej działanie jest takie samo jak łączne działanie sił składowych - właściwość ta nosi nazwę zasady superpozycji sił.

II zasada: Jeżeli na ciało działa stała, niezrównoważona siła wypadkowa, to ciało to porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do tej siły a odwrotnie proporcjonalnym do masy - miary bezwładności tego ciała. Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły i zachodzi w kierunku działającej siły.

III zasada: Gdy dwa ciała oddziałują ze sobą, siła jaką wywiera pierwsze ciało na drugie  ma taką samą wartość bezwzględną i przeciwny kierunek do tej siły, z jaką drugie ciało działa na pierwsze. Siły te nazywamy siłami akcji i reakcji. Siły reakcji działają również na inne ciała, więc nie można powiedzieć, że się one równoważą.

Wszystkie zasady dynamiki Newtona są spełnione tylko wtedy gdy rozpatruje się je w inercjalnych układach odniesienia.

11. Pęd i zasada zachowania pędu.

Pęd cząstki jest to wektor zdefiniowany jako iloczyn masy tej cząstki i jej prędkości. Ponieważ masa jest zawsze dodatnią wielkością skalarną to wektor pędu ma ten sam kierunek co wektor prędkości Jednostką pędu jest kilogram razy metr na sekundę. Korzystając z definicji pędu możemy zdefiniować II zas dynamiki Newtona: szybkość zmiany pędu ciała w czasie jest równa wypadkowej sile działającej na to ciało i ma kierunek tej siły.

Pęd układu cząstek równy jest iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy.

Zasada zachowania pędu: W układzie zamkniętym (taki którego masa nie ulega zmianie) i izolowanym (czyli takim, na który nie działają siły zewnętrzne bądź ich wypadkowa jest równa zeru, to całkowity pęd układu nie ulega zmianie.

Pęd jest wielkością wektorową W zależności jakie siły dzialają na układ pęd może nie być zachowany wzdłuż wszystkich kierunków (np. osie układu współrzędnych xyz -nie wiem jak to ładnie sformułować) a tylko wzdłuż jednego lub dwóch. Prawdziwe jest przy tym następujące stwierdzenie: Jeśli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ zamknięty ma wzdłuż pewnej osi składową równą zeru to składowa pędu wzdłuż tej osi nie ulega zmianie.

12. Nieinercjalne układy odniesienia. Siła Coriolisa.

Nieinercjalny układ odniesienia to taki, w którym nie są spełnione zasady dynamiki Newtona. Jest to układ który porusza się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek inercjalnego układu odniesienia. Działają w nim siły bezwładności, których nie można związać z żadnymi ciałami od których mogłyby pochodzić, więc nie można stosować III zas dynamiki.

Traktowanie Ziemi jako układu inercjalnego dla ruchów o krótkiej drodze jest usprawiedliwione ponieważ nie obserwujemy zakłócenia zasad dynamiki Newtona. Jednak Ziemia nie jest układemi nercjalnym bo wykonuje ruch obrotowy wokół własnej osi a dodatkowo  obiega Słońce po elipsie.

Siła Coriolisa jest to siła występująca w nieinercjalnym układzie odniesienia, związana jest z ruchem postępowym ciał w układzie obracającym się jednostajnie z prrędkością kątową i poruszającym się ze stała prędkością. Jest skierowana prostopadle do wektora prędkości ciała V i wektowa prędkości kątowej obracającego się układu. Siła ta zanika gdy ciało jest w spoczynku (w układzie wirującym) oraz gdy porusza się równolegle do osi obrotu układu. Przykłady siły Coriolisa: Ziemia jako obracający się nieinercjalny układ odniesienia.

Zjawiska które można wytłumaczyć jeśli uwzględnimy, że Ziemia nie jest układem inercjalnym:

- obrót płaszczyzny wahań wahadła (wahadło Foucault)

- podmywanie brzegów rzeko

- odchylanie się na wschód ciał swobodnie spadających (na półkuli płn)

13. Praca i energia mechaniczna: praca, energia (kinetyczna i potencjalna), moc.

Praca jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana na drodze działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia a gdy odebrana - ujemna. Praca jest więc wielkością skalarną, jej jednostką jest dżul. Liczbowo praca jest równa iloczynowi składowej siły działającej na ciało w kierunku wykonywanej pracy oraz drogi przebytej w tym ruchu. Praca wykonana przez siłę jest dodatnia gdy składowa wektorowa siły w kierunku przemieszczenia jest skierowana zgodnia z wektorem przemieszczenia; ujemna gdy przeciwnie; równa zeru gdy nie ma skłądowej w kierunku przemieszczenia. Całkowita praca wykonana nad ciałem jest sumą prac wykonanych przez poszczególne siły.

Energia jest miarą zdolności ciał do wykonania pracy. Energia jest miara różnych rodzajów ruchu i miarą zdolności ciał do ruchu. Dla scharakteryzowania różnych rodzajów ruchu i różnych rodzajów oddziaływań wprowadzono różne rodzaje energii: mechaniczną, wewnętrzną, elektromagnetyczną. W mechanice można wyróżnić energię potencjalną i energię kinetyczną. Energia jest wielkością skalarną, jej jednostką jest dżul. Energia mechaniczna układu jest sumą jego energii potencjalnej i kinetycznej wszystkich jego składników.

Energia kinetyczna to energia związana ze stanem ruchu ciała. Im szybciej ciało się poruszą tym większa energię kinetyczną posiada. Gdy ciało pozostaje w spoczynku jego energia kinetyczna jest równa zeru. Liczbowo jest ona równa połowie iloczynu masy ciała i kwadratu jego prędkości pod warunkiem że prędkość ta jest znacznie mniejsza od prędkości światła. Energia kinetyczna każdego poruszającego się ciała równa jest pracy jaką trzeba wykonać przy jego hamowaniu aż do całkowitego zatrzymania.

Energia potencjalna to energia związana z konfiguracją ciał w układzie w którym działają siły zachowawcze. Jest to energia zmagazynowana przez ciało do użycia w przyszłości. Podaje się ją w postaci względnej zmiany a konretna jej postac zależy od typu siły, z którąjest związana.Jeżeli ciało znajduje się pod działaniem pewnej siły to zmianę jego energii potencjalnej obliczamy jako pracę jaką trzeba wykonać aby przesunąć cialo w obecności tej siły.

Energia potencjalna grawitacji jest to energia układu dwóch lub więcej ciał oddziaływających na siebie wzajemnie siłami grawitacji i zależy od mas tych ciał oraz wzajemnych odległości między nimi. Gdy cząstka zmienia wysokość na jakiej się znajduje, wtedy zmiana energii potencjalnej równa jest iloczynowi masy tego ciała, przyspieszenia ziemskiego i zmiany tej wysokości. Gdy ciało znajduje się wysoko nad powierzchnią Ziemi wtedy korzystamy ze wzoru (wzór i objaśnienia)

Energia potencjalna sprężystości to enegia określana dla ciała odkształcanego sprężyście. Przykładowo, dla sprężyny możemy skorzystać z prawa Hooke'a, które siła sprężystości równa jest iloczynowi współczynnika sprężystości i przemieszczenia swobodnego końca sprężyny. Sprężyna tama energię potencjalną sprężystości równej połowie iloczynu współczynnika sprężystości i kwadratu przemieszczenia.

Moc związana z działaniem sily jest to szybkość z jaką siła wykonuje pracę nad ciałem. Średnia moc w przedziale czasu równa jest ilorazowi  wykonanej pracy do tego czasu. Moc chwilowa jest to szybkość wykonanej pracy w danej chwili czyli pochodna pracy po czasie. Jeśli ciało porusza się z pewną prędkością pod działaniem siły to moc można obliczyć jako iloczyn skalarny tej prędkości i siły.

14. Zasada zachowania energii mechanicznej.

W układzie izolowanym, w którym zamiana energii pochodzi jedynie od siłzachowawczych energia kinetyczna i energia potencjalne mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli energia mechaniczna nie może ulegać zmianie.

Siła jest siłą zachowawczą jeśli całkowita praca wykonana przez nią nad cząstką poruszającą się po dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru. Oznacza to że siła jest zachowawcza jeśli calkowita praca wykonana nd cząstką w czasie jej przemieszczania między dwoma punktami nie zalezy od drogi po jakiej się porusza. Przykłady: siła ciężkości, sprężystości.

Układem izolowanym nazywamy układ w którym żadne siły zewnętrzne nie powodują zmian energii.

15. Prawo powszechnego ciążenia.

Między każdymi punktami materialnymi działa siła wzajemnego przyciągania wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów a odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między tymi punktami.

Siła z jaką pierwsze ciało przyciąga drugie jest równe co do wartości lecz ma przeciwny kierunek do siły z jaką drugie ciało przyciąga pierwsze. Prawo powszechnego ciążenia obowiązuje ściśle dla cząstek lecz może być też stosowane do ciał rzeaczywistych o ile ich rozmiary są małe w porównaniu z ich odległością. Ciało w kształcie jednorodnej powłoki kulistej przyciąga cząstkę znajdującą się na zewnątrz powłoki tak jkaby cała masa powłoki była skupiona w jej środku. Wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie siłami grawitacyjnymi.

16. Prawa Keplera.

I: Wszystkie planety poruszają się po orbitach w kształcie elipsy, w której ognisku znajduje się Słońce. Planeta porusza się wokółSłońca po  orbicie eliptycznej. Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy, drugie ognisko tej elipsy jest tylko punktem w przestrzeni kosmicznej. Każde z ognisk elipsy oddalone jest od jej środka o iloczyn mimośrodu elipsy i półosi wielkiej. Punkt orbity najbliższy Słońcu to peryhelium a najdalszy - aphelium.

II: Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity. Prawo to jest równoważne zasadzie zachowania moementu pędu. Przy ruchu ciała w polu siły centralnejego prędkośc polowa (rozumiana jako pole zakreślane prze promień wodzący  w jednostce czasu) jest stała.

III: SZeściany półosi wielkich orbit jakichkolwiek dwóch planet mają się do siebie tak jak kwadraty ich okresu obiegu. Zależność tę można wyprowadzić rozważając orbitę kołową i zapisując II zas dynamiki dla planety na orbicie kołowej i uwzględniając zależność między prędkością a okresem obiegu.

Prawa Keplera stanowiły silne poparcia teorii Kopernika. Pokazały one w jak prosty sposób można opisać ruch planet jeśli przyjmuje się Słońce za cialo odneisienia.

17. Środek masy i środek ciężkości układu.

Środek masy ciała lub ukłądu to punkt, który porusza się tak jak gdyby była w nim skupiona cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłozone w tym  właśnie punkcie. Środkiem masy układu n cząstek nazywamy punkt o współrzędnych............ czyli ......... gdzie m jest całkowitą masą ukłądu. jeśli masa ciała jest rozłożona w sposón ciągły to środek masy jest zdefiniowany jako........  Ponieważ ciała rozciągłe składają się z tak wielkiej liczby cząstek, najlepiej opisać je za pomocą ciągłęgo rozkłądu materii. Cząstkami są w tym opisie różniczkowe elementy masy dm.

Środek ciężkości ciałą lub układu ciał jest punktem w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciałą. Podparcie ciała w tym szczególnym punkcie sprawi, że grawitacja nie spowoduje obrotu tego ciałą. Niemal zawsze środek masy i środek ciężkości pokrywają się, dzieje się tak gdy dla wszystkich elementów ciała przyspieszenie g jest jednakowe.

18. Moment bezwładności - definicja, sens fizyczny, pojęcie tensora momentu bezwładności.

Momentem bezwładności ciała względen danej osi obrotu jest miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym (analog masy jako bezwładności w ruchu postępowym).  Informuje nas jak rozłożona jest masa obracającego się ciała wokół osi jego obrotu. Jest to wielkość stała dla danego ciałą sztywnego i określonej osi obrotu.

Tensor momentu bezwładności to tensor II rzędu opisujący wielkość fizyczną moment bezwładności, występuje w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową. Jego elementy nazywamy współczynnikami bezwładności lub momentami bezwładności. Stosujemy go gdy ciało obraca się wokół osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

19. Twierdzenie Steinera.

Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi równy jest momentowi bezwładności tego ciała względem innej, równoległej do niej osi, powiększonemu o iloczyn masy tego ciała przez kwadrat odległości między tymi osiami. Gdu środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności ciała względem tej osi wzrasta.

20. Moment pędu i zasada zachowania momentu pędu.

Moment pędu cząstki o pędzie p, masie m i prędkości liniowej V jest wielkością wektorową, definiowaną względem pewnego punktu odniesienia ( zwykle początku układu współrzędnych. Długość wektora momentu pędu jest równa iloczynowi wektorowemu położenia cząstki względem punktu odniesienia i jej pędu, czyli iloczynowi masy m, prędkości V i sinusa kąta między wektorami pędu i położenia. Kierunek wektora momentu pędu wyznaczamy za pomocą reguły prawej dłoni dla iloczynu wektorowego.

Momentem pędu układu cząstek nazywamy sumę wektorową poszczególnych momentów pędu poszczególnych cząstek układu. Szybkość z jaką zmienia się moment pędu jest równa wypadkowemu zewnętrznemu moemntowi siły jaki działą na układ (tzn. sumie wektorowej momentów siły, działających na cząstki układu, w wyniku ich oddziaływania z cząstkami spoza układu).

Moment pędu ciała sztywnego. Składowa momentu pędu ciała sztywnego, obracającego się wokół stałej osi, równoległej do osi obrotu , równa jest iloczynowi prędkości kątowej i momentu bezwładności.

Zasada zachowania momentu  pędu: Jeżeli działający na układ wypadkowy moment siły jest równy zeru, to całkowity moment pędu układu nie zmienia się, niezależnie od tego, jakim zmianom podlega układ. Moment pędu jest wielkością wektorową, więc równania dotyczące go są równoważne trzem równaniom dla skłądowych tego wektora. Stąd : jeśli wypadkowy zewnętrzny moment siły działający na układ, ma składową wzdłuż pewnej osi równą zru to składowa calkowitego momentu pędu wzdłuż tej osi nie zmienia się, niezależnie od tego, jakim zmianom podlega układ.

Moment siły jest wielkością wektorową definiowaną względem jakiegoś punktu odniesienia (zwykle jest to początek układu współrzędnych. Jest równy iloczynowi wektorowemu sily przyłożonej do cząstki oraz wektorem położenia tej cząstki względem punktu odniesienia.

21. Ruch okresowy: drgania, drgania okresowe, drgania harmoniczne (definicje, definicje podstawowych wielkości opisujących drgania, równanie drgań harmonicznych, przykłady).

Drganie - ruch lub zmiana stanu który charakteryzuje się powtarzalnością w czasie wielkości fizycznych opisujących ten ruch lub  stan, np. prędkość, położenie.

Drgania okresowe - drgania których powtarzalność zachodzi w regularnych odstępach czasu, czas ten nazywamy okresem.

Charakterystyczne wielkości dla ruchu drgającego:

a) częstotliwośc drgań - liczba pełnych drgań (cykli) wykonywanych w ciągu każdej sekundy. Jednostka jest herc.

b)okres drgań jest to czas w jakim zostaje wykonane jedno pełne drganie.

Drgania okresowe harmoniczne - są to drgania okresowe, w którym przemieszczenie ciała w zależności od jego położenia jest dane wzorem:..........., gdzie A to amplituda drgań, czyli dodatnia stała, której wartość zależy od tego jak silnie wywołano drgania, jest równa maksymalnemu wychyleniu z położenia równowagi;  zależna od czaus wielkość ωt+φ nosi nazwę fazy ruchu gdzie φ jest fazą początkową.

Częstość kołowa (kątowa) - wielkość określająca jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Związana jest z okresem i częstotliwością drgań:.........

Różniczkując wzór na przemieszczenie otrzymujemy wyrażenia na prędkośc i przyspieszenie w ruchu harmonicznym. Przyspieszenie w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne do przemieszczenia ale ma przeciwny znak, przy czym łączący obie wielkości współczynnik proporcjonalności jest równy kwadratowi częstości kołowej.

Przykłady:

a) wahadlo matematyczne - ma postać ciała o pewnej masie zawieszonego na jednym końcu nierozciągliwej linki, o znikomo małej masie i o pewnej długości, której drugi koniec jest umocowany

b) wahadło fizyczne - ciało doskonale sztywne któ®e pod działanie mwłąsnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała.

wahadła te wykonują ruch harmoniczny i ich okresy drgań wynoszą....

22. Ruch okresowy: tłumiony, wymuszony.

Energia mechaniczna w rzeczywistym układzie drgającym maleje podczas drgań gdyż siły zewnętrzne, jak np siły oporu, hamują drgania i powodują przekształcenie się energii mechanicznej w energię termiczną. W związku z tym mówimy o drganiach okresowych tłumionych. Są  one drganiami nieokreślonymi - nigdy nie powtarzają się największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. (tu chyba konieczne są wzory z opisami)

Jeżeli zewnętrzna siła wymuszająca o pewnej częśtości kołowej działa na układ drgający o własnej częstości kołowej to układ drga z częstością kołową tej siły. Przemieszczenie jest dane wzorem:.... przy czym amplituda ustalonych drgań jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły, odwrotnie proporcjonalna do masy ukladu oraz zmniejsza się wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia.  ...