Strona | 3
Prognozowanie i symulacje
Prognozowanie na podstawie modeli szeregów czasowych
Baza danych statystycznych z wartościami zmiennej prognozowanej Y jest szeregiem czasowym w postaci:
t
Y
1
Y1
2
Y2
...
n
Yn
gdzie t jest numerem okresu lub momentu czasowego.
Prognozy na okresy lub momenty T > n wyznacza się posługując się modelem w postaci
Yt = f(t, t).
gdzie:
- f jest postacią modelu,
- jest składnikiem losowym ( wahaniami przypadkowymi).
Jeżeli spełnione są podstawowe założenia prognostyczne to znaczy:
1. Znana jest postać modelu f, który ma założone własności ,
2. Tendencja rozwojowa występująca w przeszłości będzie taka sama w prognozowanej przyszłości,
to można wyznaczyć prognozę zmiennej objaśnianej Y w okresie T > n według wzoru
Y*T= f(T).
Zadanie 1. Prognozowanie szeregów czasowych ze stałym średnim poziomem zmiennej prognozowanej
Jeśli wartości zmiennej prognozowanej Y oscylują wokół pewnej wartości (zwanej stałym średnim poziomem) to zmienne prognozowana Y ma stały średni poziom z wahaniami przypadkowymi.
Wykres takiej zmiennej Y ma postać :
Do prognozowania zmiennych o stałym średnim poziomie z wahaniami przypadkowymi używa się następujących metod:
- metoda naiwna typu stały średni poziom (model Browna).
- metoda średniej ruchomej k – elementowej,
- metoda średniej ruchomej ważonej k – elementowej,
- metoda wygładzania wykładniczego ( model adaptacyjny).
Prognozowanie za pomocą metody naiwnej typu stały średni poziom
Metoda ta jest używana jeśli zmienna prognozowana Y nie wykazuje zbyt dużych wahań przypadkowych. Model prognostyczny ma postać:
t = 2, …n+1 (1)
Za pomocą powyższego modelu można wyznaczyć prognozę na jeden okres T = n+1.
Trafność doboru modelu ocenia się za pomocą wybranego błędu ex post prognoz wygasłych.
Przykład 1.Tygodniowa sprzedaż kostek masła w hurtowni NABIAŁEK kształtowała się następująco:
Wyznaczyć prognozę sprzedaży na tydzień 13 i ocenić dobór modelu za pomocą błędu RMSE.
Dla oceny postaci tendencji rozwojowej wykonamy wykres wartości zmiennej prognozowanej Y.
W tym celu zaznaczamy kolumnę z wartościami Y i wybieramy wykres liniowy. Otrzymujemy wykres w postaci:
Na podstawie analizy wzrokowej wykresu możemy stwierdzić,że zmienna prognozowana Y
- nie wykazuje wahań okresowych,
- nie wykazuje trendu (rosnącego ani malejącego).
Stąd wynika,ż e zmienna Y ma stały średni poziom z wahaniami przypadkowymi.
Wyznaczmy teraz średnia sprzedaż masła w badanym szeregu czasowym.
Funkcja ŚREDNIA znajduje się w funkcjach statystycznych
Wybieramy funkcję ŚREDNIA i akceptujemy wybór OK. Otrzymujemy tabelę
Argumenty funkcji
W okienku Liczba1 wpisujemy adresy komórek z wartościami zmiennej Y ( w naszym przykładzie to B3:B13 i akceptujemy OK. Wynikiem jest wartość średniej arytmetycznej z wartości Y.
Możemy wiec stwierdzić, że średnia sprzedaż masła to 1,03 setek kostek w ciągu tygodnia.
Zadamy teraz zmienność zmiennej prognozowanej Y. Uzyjemy w tym celu współczynnika zmienności ze wzoru
to odchylenie standardowe zmiennej Y od średniej,
to wartość średnia zmiennej Y.
W tym celu wyznaczymy odchylenie standardowe zmiennej Y za pomocą funkcji statystycznej
ODCH.STANDARD.POPUL.
Po wyborze funkcji ODCH.STANDARD.POPUL. akceptujemy wybór OK.
Otrzymujemy tabelę Argumenty funkcji
gdzie w okienku Liczba1 wpisujemy adresy komórek, w których znajdują się wartości zmiennej Y (w naszym przykładzie B2:B14). Wybór akceptujemy OK. Możemy teraz wyznaczyć współczynnik zmienności.
Wynik naszych działań zamieszczono poniżej
Możemy więc stwierdzić, że odchylenie standardowe stanowi około 3% wartości średniej Y.
Zatem zmienna Y wykazuje niewielką zmienność i do prognozowania możemy użyć modelu Browna ( metody naiwnej typu stały średni poziom).
Prognoza na 13. tydzień to
setek kostek masła.
Trafność doboru modelu ocenimy za pomocą błędu
gdzie :
M to zbiór numerów okresów dla których wyznacza się prognozy wygasłe,
card M to liczba elementów zbioru M.
W następnym kroku wyznaczymy więc prognozy wygasłe według wzoru (1).
Mamy Y2 = Y1 ( prognoza wygasła na drugi tydzień).
A następnie przekopiujemy wzór aż do komórki C13. Wynikiem naszych działań jest
Obliczymy teraz kwadraty różnic (Yt-Y*t)2
A następnie obliczymy ich sumę.
Ponieważ zbiór M = { 2,3,…, 12} zawiera 11 elementów błąd RMSE będzie miał postać:
Błąd RMSE = 0,05 setek kostek masła. Oznacza to, że prognozy wygasłe dla tygodni o numerach od 2 do 12 wyznaczone za pomocą modelu Browna , średnio różnią się od rzeczywistych sprzedaży w tych tygodniach o 5 kostek masła.
Dla oceny wielkości tego błędu wyznaczymy wskaźnik :
Gdzie to średnia wartości zmiennej prognozowanej Y z okresów dla, których wyznaczone zostały prognozy wygasłe ( w naszym przykładzie to komórki B3:B13)
Mamy
Stąd wynika, że błąd RMSE stanowi około 5% średniej tygodniowej sprzedaży masła .
Błąd ten jest niewielki a więc stwierdzamy, że prognozy wygasłe były trafne zatem model może zostać użyty do prognozowania.
Odpowiedź. Prognoza na 13. tydzień wyznaczona metodą naiwną typu stały średni poziom to 102 kostki masła.
Prognozowanie za pomocą metody średniej ruchomej k – elementowej
W hurtowni CIEPŁA NÓŻKA w kolejnych 14. Miesiącach badano sprzedaż skarpet w tys. par. Dane zamieszczono poniższej tablicy.
Za pomocą metody średniej ruchomej trzy elementowej postawić prognozę sprzedaży na miesiąc 15. Trafność doboru modelu ocenić za pomocą błędu MAE.
Na podstawie analizy wzrokowej wykresu możemy stwierdzić, że zmienna prognozowana Y
W badanym szeregu czasowym średnia miesięczna sprzedaż skarpet to 39,714 tys. par.
Prognozy metodą średniej ruchomej k – elementowej wyznaczamy ze wzoru:
t = k+1, k+2, …,n+1.
Metodą średniej ruchomej można wyznaczyć jedynie prognozę na jeden okres T = n+1.
Prognoza wyznaczona metoda sredniej ruchomej trzyelementowej na 15. miesiąc to
tys. par skarpet .
Do oceny modelu prognostycznego zaproponowano błąd
(2)
Aby wyznaczyć wielkość błędu MAE wyznaczymy prognozy wygasłe Yt* dla t = 4, 5, …,14,
różnice pomiędzy wartościami Yt a prognozami wygasłymi Y t *,
a następnie ich wartości bezwzględne. Wartość bezwzględną z liczby wyznaczamy za pomocą funkcji matematycznej MODUŁ.LICZBY.
Po wybraniu funkcji MODUŁ.LICZBY w tabelce argumentów funkcji wpisujemy liczbę, której wartość bezwzględną obliczamy( w naszym przykładzie D5).
Wynikiem będzie tabela w postaci:
Wyznaczymy teraz błąd MAE na podstawie wzoru (2), gdzie M = {4,5,…14}natomiast card M = 11.
Błąd MAE = 1,36 tys. par skarpet.
Oznacza to, że prognozy wygasłe wyznaczone dla miesięcy o numerach od 4 do 14 średnio różnią się od rzeczywistej sprzedaży skarpet o 1,36 tys. par skarpet. Dla oceny wielkości błędu MAE w stosunku do rzeczywistych wartości sprzedaży wyznaczymy wskaźnik
Mamy wynika stąd, że Stąd wynika, że błąd MAE stanowi około 3,4% średniej miesięcznej sprzedaży skarpet.
Odpowiedź. Prognoza sprzedaży na 15. miesiąc to 39 tysięcy par skarpet.
Prognozowanie za pomocą metody średniej ruchomej ważonej k – elementowej
Przykład 3. W kolejnych kwartałach kolejnych lat wielkość produkcji rur stalowych w zakładzie NASZA RURKA kształtowała się następująco.
Wyznaczyć prognozę wielkości produkcji na kolejne 15. półrocze metoda średniej ważonej czteroelementowej. Trafność doboru modelu ocenić za pomocą błędu RMSE.
Prognozy metodą średniej ruchomej ważonej k – elementowej wyznaczamy ze wzoru:
t = k+1, k+2, …, n. (3)
Wartości ( j = 1, 2...
przedmioty_ekonomiczne