Zeszyt ćwiczeń
dr inż. Teodor Buchner
1. Trygonometria.
Masz trójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5. Dwa kąty ostre to kąty a i b (dowolnie). Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych sinus, kosinus, tangens i kotangens (czyli 1/tangens) tych kątów. Następnie sprawdź w tablicach matematycznych ile wynoszą wartości kątów a i b.
Odp: Kąty wynoszą około 37° (dokładnie 36.86°) i około 53° (dokładnie 53.13°).
2. Rozkładanie prędkości.
Mrówka wyrusza z rogu prostokątnego stołu o wymiarze 1x2m z prędkością 1 cm/s. Prędkość mrówki tworzy kąt 45° z dłuższym bokiem stołu. Po jakim czasie i w jakim punkcie mrówka dojdzie do przeciwległej krawędzi stołu.
Odp: Po upływie 100*√2 sekund mrówka znajdzie się na przeciwległym końcu – dokładnie w połowie szerokości stołu.
3. Rybak znajduje się na rzece, płynącej na północ, której prędkość nurtu wynosi w każdym miejscu V* i jest stała. Rybak może wiosłować z prędkością V względem wody. Rybak obiera sobie kurs f, jakim zamierza płynąć, z przedziału 0-360o. Ponieważ rybaka znosi rzeka, w rzeczywistości będzie płynął kursem y. Wyznacz funkcję y = f (f), według poniższych kroków:
Wyznacz za pomocą kinematyki (składanie prędkości) zależność funkcyjną y = f (f). Użyj parametru V*/V.
Jaka będzie funkcja f jeśli prędkość rzeki względem rybaka będzie dużo większa (w przypadku granicznym – nieskończona V*/V=0 – sprawdź jak zmieni się wzór i narysuj przebieg tej funkcji dla f od 0 do 360o.
Jaka będzie funkcja f jeśli prędkość rybaka będzie nieskończona V*/V= ∞ – sprawdź jak zmieni się wzór i narysuj przebieg funkcji.
Czy azymut ruchu rybaka y wzrośnie czy zmaleje na skutek prędkości nurtu rzeki? Jaki charakter ma ta zmiana dla każdej ćwiartki układu współrzędnych rozpatrywanych po kolei.
Narysuj jak w przybliżeniu przebiega funkcja f dla pośrednich wartości V*/V (weź na przykład V*/V=1/2 lub V*/V=2).
Czy występuje taka wartość V* dla której postać rozwiązania zmienia się jakościowo (znacząco różny typ rozwiązania)?
Jak wygląda funkcja f dla różnych wartości parametru – narysuj funkcję 2-D używając pakietu graficznego (np. Octave) lub wykonaj model z papieru lub folii aluminiowej.
Odp: tg (y) = (sin f ) / (cos f + V*)
Rysunek 1: Kurs rybaka jako funkcja kursu zamierzonego dla dwóch przypadków: a) kiedy prędkość rzeki V* jest mniejsza od prędkości rybaka V (po lewej),
b) kiedy prędkośc rzeki V* jest większa od prędkości rybaka V (po prawej).
Liczba W to tzw liczba obrotów (winding number) , która mówi o ile zmieni się wartość funkcji jeśli kąt (faza) który jest jej argumentem zmieni się o 360o. Por. http://en.wikipedia.org/wiki/Winding_number
Rys. Za A.T. Winfree.
4. Wykonaj z gliny, piasku lub ciasta model fali potencjału czynnościowego dla pobudzenia zatokowego (fala kulista) i model fali spiralnej – poziom ciasta jest najwyższy tam gdzie potencjał czynnościowy ma większą wartość (kolor czerwony), a najniższy tam gdzie widoczny jest kolor niebieski (por. Rysunek 2). Dla fali kulistej uwzględnij także poprzednie pobudzenia (będą to kolejne takie fale o większej średnicy, najlepiej jeśli będzie ich kilka / wiele). Dla fali spiralnej: przedłuż jej koniec tak żeby w obszarze modelu mieściło się kilka zwojów.
Na podstawie modelu lub na podstawie zamieszczonego rysunku odpowiedz na pytanie: Jeśli w chwili t=0 pobudzenie wyglądało tak jak na rysunku 2 w dolnym rzędzie z lewej strony to ile razy przeszło pobudzenie przez punkty znajdujące się na końcu dwóch czarnych linii, widocznych na rysunku 2.
Rysunek 2: Potencjał czynnościowy w tkance serca człowieka dla pobudzenia zatokowego (górny rząd rysunków) i fali spiralnej (dolny rząd rysunków). Kolory jak na mapie fizycznej: niebieski oznacza wartość spoczynkową (najniższą), zaś czerwony najniższą. Linia którą tworzą czerwone punkty oznacza położenie maksimum potencjału czynnościowego (frontu fali pobudzenia) w danym momencie. Wiele fal spiralnych w ruchu dla różnych modeli tkanki mięśnia sercowego można zobaczyć na stronie: http://www.scholarpedia.org/article/Models_of_cardiac_cell
5. Na wykonanym modelu połóż kółko z drutu. Ile wynosi różnica faz (liczba obrotów) liczona wzdłuż kółka jeśli a) w środku kółka znajduje się czubek fali spiralnej, b) w środku kółka nie znajduje się czubek fali spiralnej. Uwaga: liczba obrotów jest równa liczbie maksimów potencjału czynnościowego, znajdujących się pod kółkiem.
Odp: a) 360°, b) 0.
6. Suma potencjałów czynnościowych generowanych przez mięsień sercowy daje się obserwować w formie potencjałów elektrycznych na powierzchni ciała – klatki piersiowej lub kończyn. Jest to wykorzystywany w badaniu serca elektrokardiogram - EKG. Niżej przedstawiona jest krzywa EKG dla pobudzenia zatokowego.
Na wykresie EKG analizuje się:
linię izoelektryczną – linia pozioma zarejestrowana w czasie, gdy w sercu nie stwierdza się żadnych pobudzeń (aktywności). Najłatwiej wyznaczyć ją według odcinka PQ. Stanowi ona punkt odniesienia poniższych zmian
załamki – wychylenia od linii izoelektrycznej (dodatni, gdy wychylony w górę; ujemny, gdy wychylony w dół)
odcinki – czas trwania linii izoelektrycznej pomiędzy załamkami
odstępy – łączny czas trwania odcinków i sąsiadującego załamka
Przykładowy zapis EKG
Źródło: Wikipedia; plik: EKGKomplexPL.svg
Oblicz czas trwania prawidłowego załamka P, jeżeli na wykresie EKG ta linia ma długość 3mm przy zapisie 25mm/s.
Odpowiedź:
Dla dociekliwych ( dla tych którzy nie boją się komputera)
Treść poniższych programów należy wpisać używając notatnika Windows, Linuksowego vi lub innego prostego edytora tekstowego (tzn. nie Worda) do plików rowboat.m i rowboat_3d.m – poniżej są teksty obu plików. Następnie należy uruchomić skrypt rowboat_3d.m w środowisku Octave. Opis instalacji środowiska Octave (darmowy odpowiednik Matlab’a) znajdziecie Państwo na przykład tutaj:
http://www.neuroinf.pl/Members/danek/swps/exercises_html
Znakiem procentu poprzedzone są komentarze. Oczywiście nie trzeba ich przepisywać.
Matlab lub jego odpowiednik Octave to pakiet matematyczny, który umożliwia na przykład wyliczenie wartości funkcji i wykreślenie jej wykresu. Środowisko Matlab jest szeroko używane w nauce i technice, na przykład w analizie sygnału, w związku z tym warto się z nim zapoznać. Efekty akustyczne wykorzystywane w muzyce elektronicznej lub też transformacje obrazów można projektować i wykonywać za pomocą środowiska Matlab.
rowboat.m
function [psiprime] = rowboat(psi,v,vstar) % ten nagłówek oznacza że w tym pliku zdefiniowana jest funkcja i pokazuje z jakimi parametrami będzie wywołana.
%Funkcja wylicza nową fazę rybaka (kurs którym faktycznie będzie się poruszał) w funkcji starej fazy (kursu którym chce płynąć)
%Psi oznacza starą fazę, psiprime – nową fazę.
%Poniżej podany jest opis wzoru zdefiniowanego w tej funkcji.
%sn = sin(2 * pi * psi);
%cs = cos(2 * pi * psi);
%vv = vstar ./ v;
%denom = cs - vv;
%frac = sn ./ denom;
%psiprime = atan(frac);
%psiprime = atan( sin (2 * pi * psi) ./ (cos(2* pi * psi) - vstar ./ v));
if(nargin==2)
% Jeśli do funkcji przekazane są dwa parametry – drugi z nich to iloraz vstar ./v. Jeśli trzy: są to kolejno psi v i star
psiprime = atan( sin (psi) ./ (cos(psi) – v)); % tu następuje wyliczenie wartości psiprime w wersji z dwoma argumentami. Atan to funkcja arcus tangens – funkcja odwrotna do funkcji trygonometrycznej. Sin i cos to funkcje sinus i cosinus.
else
psiprime = atan( sin (psi) ./ (cos(psi) - vstar ./ v)); %tu następuje wyliczenie wartości psiprime w wersji z trzema argumentami
end %zakończenie pętli if/else
end %zakończenie procedury
rowboat_3d.m
%Zmienna vstarv = vstar ./ v;
vstarv = 0.1:0.1:2.0; %Utwórz wektor złożony z wartości od 0.1 do 2.0 ze skokiem co 0.1.
psi = -pi:0.1:pi;% -Utwórz wektor o wartościach od - pi do pi ze skokiem co 0.1.
[Xpsi,Yvstarv] = meshgrid(psi,vstarv); % Utwórz dwuwymiarową siatkę (macierz) wszystkich możliwych wartości parametrów psi i vstarv
- potrzebną do wyliczenia wartości funkcji
Zpsiprime = rowboat(Xpsi,Yvstarv); %Wyznacz wartość funkcji dla tych wartości parametrów
s=surf(Xpsi,Yvstarv,Zpsiprime); %Narysuj wykres
xlabel('\phi');%Ustaw etykietę osi X
ylabel('v^{*}/v');%Ustaw etykietę osi Y
zlabel('\phi''');%Ustaw etykietę osi z
title('3-D');%Ustaw tytuł wykresu
set(gca,'XTick',-pi:pi/2:pi) %Ustaw oś X od -pi do pi
set(gca,'XTickLabel',{'-pi','-pi/2','0','pi/2','pi'}) % Ustaw etykiety osi X
set(gca,'ZTick',-pi/2:pi/2:pi/2)%Ustaw oś Z od -pi /2do pi/2
set(gca,'ZTickLabel',{'-pi/2','0','pi/2'}) % Ustaw etykiety osi Z
set(s,'EdgeColor','none'); % Usuń krawędzie z wykresu.
print( "wykres.png", "-dpng");%zapisz otrzymany obrazek do pliku graficznego
Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
6
napomoc