algebra.pdf

(63 KB) Pobierz
EGZAMIN Z ALGEBRY
Imi¸ i nazwisko.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,
Grupa.
. . . . .
e
Zadanie 1.
√
(1) Zbi´r
{a
+
b
3 :
a
∈
Z,
b
∈
Z}
jest cialem liczbowym.
o
(2) Istnieje cialo liczbowe
F,
ze
˙
3
5
∈
F.
(4) Istnieje niesko´czenie wiele cial liczbowych.
n
Zadanie 2.
(1) Je´li liczba
u
∈
R
spelnia r´wnanie
x
2
+
bx
+ 1 = 0, gdzie
b
∈
R,
to liczba
u
−1
te˙
s
o
z
spelnia to r´wnanie.
o
(2) Dzialanie
a
◦
b
=
ab
a+b
okre´lone w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich jest l¸czne.
s
a
(4) Dzialanie
a
◦
b
okre´lone powy˙ ej jest rozdzielne wzgl¸dem zwyklego dodawania.
s
z
e
Zadanie 4.
(1) Reszta z dzielenia przez 5 liczby 312 wynosi 3.
(2) Reszta z dzielenia 15
45
przez 43 wynosi 10.
(4) Dla ka˙ dej liczby naturalnej
n
reszta z dzielenia 16
n
przez 15 jest 1.
z
Zadanie 6.
(1)
1
3−2i
=
3
13
−
2
i.
13
(2) Dla ka˙ dej liczby zespolonej
z,
im (z
z
) = 0.
z
¯
(4) Niech
z
= 1 +
i
oraz
t
= 2 + 3i. Zachodzi r´wno´´
|z
+
t|
2
+
|z −
t|
2
= 15.
o
sc
Zadanie 8.
(1) W ciele kwaternion´w zachodzi to˙ samo´´
kij
=
ijk.
o
z
sc
(2) Istnieje kwaternion
q,
ze
q q
=
q q.
˙ ¯ ¯
(4) Zbi´r kwaternion´w postaci
a
+
bk,
gdzie
a, b
∈
R,
jest podcialem ciala kwater-
o
o
nion´w.
o
Zadanie 9.
(1) Je´li permutacja
σ
= 3124, za´
τ
= 1243, to
στ
= 3142.
s
s
(2) Je´li
σ
= 32541, to
σ
−1
= 14523.
s
(4) Istniej¸ zbiory sko´czone
A
i
B
zawarte w
{1,
. . . ,
1000}, ze
A, A B
s¸ parzyste,
a
n
˙
a
za´
B
– nieparzysty.
s
Zadanie 11.
(1) Uklad
u
= (1, 1, 0, 0),
v
= (0, 1, 0, 1) jest liniowo niezale˙ ny w
R
4
.
z
(2) Uklad
u
= (1, 1, 0, 0),
v
= (0, 0, 1, 1),
x
= (1, 0, 0, 0),
y
= (0, 1, 0, 0) jest baz¸ w
R
4
.
a
(4) Istnieje baza w
R
6
, kt´ra ma pi¸´ element´w.
o
ec
o
Zadanie 13.
(1) Uklad
u
= ((1,
−1),
(1, 0)) jest baz¸ w
R
2
, za´ (2, 3)
u
s¸ wsp´lrz¸dnymi wektora
a
s
a
o e
(5, 2) w tej bazie.
(2) Przestrze´ liniowa
R
R
wszystkich funkcji z
R
do
R
ma wymiar sko´czony.
n
n
(4) Je´li
T
:
R
2
→
R
2
jest liniowe oraz
T
(2, 1) = (3, 4) i
T
(−1, 2) = (0, 1), to
T
(3, 4) =
s
(6, 7).
Zadanie 15.
(1) Mno˙ enie macierzy jest l¸czne i nieprzemienne.
z
a
c
(2) Je´li
A
∈
M
2×5
(R) ma posta´
A
=
s
1 2 3 4 0
0 1 2 3 4
,
to rankA
≥
3.
(4) Je´li w macierzy
A
powtarzaj¸ si¸ dwa wiersze, to macierz
B
powstala przez wykre´lenie
s
a e
s
jednego z nich ma ten sam rz¸d kolumnowy co
A.
a
Zadanie 16.
(1) Niech
T
∈
L(V, W
). Wiemy, ze dim ker
T
= 5 oraz dim
W
= 15. W takim razie
˙
dim im
T
= 10.
(2) Wektory
u
1
= (1,
−1),
u
2
= (0, 1) stanowi¸ baz¸ przestrzeni
R
2
, a wektory
u
1
=
a
e
2
[1, 0],
u
= [1, 1] tworz¸ baz¸ do niej dualn¸ w przestrzeni (R
2
)
∗
a
e
a
(4) Je´
T
∈
L(V, W
), to
T
∗
∈
L(V
∗
, W
∗
).
li
Zadanie 18.
(1) Macierz odwrotna
B
−1
1 0 0
= [d
ij
] do macierzy
B
=
0 1 1
ma wyraz
d
23
=
−1.
0 0 1
(2) Niech
A, B
∈
M
n×n
(R). Zachodzi wz´r det(AB)
t
= (−1) det
A
det
B.
o
(4) Je´li w ukladzie r´wna´ liniowych liczba r´wna´ nie przekracza liczby niewiadomych,
s
o
n
o
n
to taki uklad ma zawsze rozwi¸zanie.
a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin